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  <rights>All rights reserved 2026, Mr. Will</rights>
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  <title>Mr. Will</title>
  <updated>2026-08-11T07:44:39.381Z</updated>
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      <name>Mr. Will</name>
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      <![CDATA[<p>Have you ever been in a group chat where someone says “lol” and an AI bot immediately responds with a full paragraph? Or sent a quick “ok” to a friend and watched the assistant generate a thoughtful essay in reply?</p><p>This is the problem that inspired <a href="https://github.com/MrWillCom/Shrug">Shrug</a>. AI chatbots always respond. It doesn’t matter if you sent a meme, a one-word acknowledgement, or a message clearly not directed at them. They reply anyway, because that’s what they’re trained to do: generate text. No one taught them the more fundamental skill of deciding <em>whether</em> to speak at all.</p><h2 id="A-Decision-Gate-Not-a-Generator"><a href="#A-Decision-Gate-Not-a-Generator" class="headerlink" title="A Decision Gate, Not a Generator"></a>A Decision Gate, Not a Generator</h2><p>Shrug is a reply-decision model. It doesn’t decide <em>what</em> to say — it decides <em>whether</em> to reply at all.</p><p>The idea is simple: instead of feeding every message directly into a language model and asking it to generate a response, you first run it through Shrug. Shrug looks at the conversation context and outputs a single number <mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.138ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 503 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="p \in [0, 1]"><g data-mml-node="mi" data-latex="p"><path data-c="1D45D" d="M355 442C311 442 269 419 228 373C217 419 186 442 137 442C96 442 66 409 45 344C35 311 30 292 30 286C30 277 35 272 46 272C51 272 54 273 57 275C62 284 65 291 66 298C84 374 107 412 134 412C152 412 161 398 161 371C161 356 159 339 154 321L44-118C35-151 34-155-5-155C-23-155-32-163-32-178C-32-189-26-194-15-194C0-194 52-191 67-191C86-191 146-194 165-194C180-194 187-186 187-170C187-160 178-155 159-155C141-155 114-156 114-144C114-131 155 26 159 43C179 6 209-13 249-13C314-13 371 20 421 87C467 148 490 213 490 280C490 367 438 442 355 442M352 412C391 412 411 382 411 323C411 296 405 260 394 215C371 128 342 71 307 42C286 25 267 16 248 16C219 16 199 29 188 56C179 77 174 92 174 100L225 309C230 331 248 354 276 377C304 400 329 412 352 412Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"> </mjx-break><svg style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.664ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2945.4 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="p \in [0, 1]"><g data-mml-node="mo" data-latex="\in"><path data-c="2208" d="M563 4L373 4C310 4 254 25 208 68C162 111 136 163 130 226L563 226C579 226 587 234 587 250C587 266 579 274 563 274L130 274C136 337 162 389 208 432C254 475 310 496 373 496L563 496C579 496 587 504 587 519C587 535 579 543 563 543L373 543C292 543 223 515 166 458C109 401 81 332 81 250C81 168 109 99 166 42C223-15 292-43 373-43L563-43C579-43 587-35 587-19C587-7 576 4 563 4Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="[" transform="translate(944.8,0)"><path data-c="5B" d="M233-202L159-202L159 702L233 702C248 702 256 710 256 726C256 742 248 750 233 750L114 750L114-250L233-250C248-250 256-242 256-226C256-214 245-202 233-202Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="0" transform="translate(1222.8,0)"><path data-c="30" d="M249-22C390-22 460 92 460 320C460 473 428 575 365 625C330 652 291 666 250 666C109 666 39 551 39 320C39 136 88-22 249-22M361 524C368 489 371 425 371 332C371 240 367 172 360 128C347 48 310 8 249 8C226 8 203 17 182 34C155 57 139 104 132 176C129 201 128 253 128 332C128 419 131 480 136 513C145 568 163 603 191 618C213 630 232 636 249 636C314 636 350 583 361 524Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="," transform="translate(1722.8,0)"><path data-c="2C" d="M139 106C107 106 86 82 86 50C86 20 109-5 139-5C153-5 165-1 174 8L175 0C175-63 154-117 112-160C105-168 101-174 101-178C101-188 105-193 114-193C123-193 135-181 152-158C186-110 203-57 203 0C203 53 185 106 139 106Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="1" transform="translate(2167.4,0)"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47C195 42 170 39 130 39L95 39L95 0C120 2 174 3 257 3C340 3 394 2 419 0L419 39L384 39C343 39 318 42 310 47C302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="]" transform="translate(2667.4,0)"><path data-c="5D" d="M45-250L164-250L164 750L45 750C30 750 22 742 22 726C22 710 30 702 45 702L119 702L119-202L45-202C30-202 22-210 22-226C22-242 30-250 45-250Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> — the probability that a reply is appropriate. If <mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.439ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.138ex" height="1.439ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 503 636"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="p"><g data-mml-node="mi" data-latex="p"><path data-c="1D45D" d="M355 442C311 442 269 419 228 373C217 419 186 442 137 442C96 442 66 409 45 344C35 311 30 292 30 286C30 277 35 272 46 272C51 272 54 273 57 275C62 284 65 291 66 298C84 374 107 412 134 412C152 412 161 398 161 371C161 356 159 339 154 321L44-118C35-151 34-155-5-155C-23-155-32-163-32-178C-32-189-26-194-15-194C0-194 52-191 67-191C86-191 146-194 165-194C180-194 187-186 187-170C187-160 178-155 159-155C141-155 114-156 114-144C114-131 155 26 159 43C179 6 209-13 249-13C314-13 371 20 421 87C467 148 490 213 490 280C490 367 438 442 355 442M352 412C391 412 411 382 411 323C411 296 405 260 394 215C371 128 342 71 307 42C286 25 267 16 248 16C219 16 199 29 188 56C179 77 174 92 174 100L225 309C230 331 248 354 276 377C304 400 329 412 352 412Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> is low, the bot simply stays silent.</p><p>This sounds obvious, but most chatbots don’t do this. They treat every incoming message as a prompt that demands an answer. Shrug introduces a filter, a moment of hesitation between receiving a message and deciding to speak.</p><h2 id="Humans-Are-Not-Threshold-Machines"><a href="#Humans-Are-Not-Threshold-Machines" class="headerlink" title="Humans Are Not Threshold Machines"></a>Humans Are Not Threshold Machines</h2><p>The most interesting design decision in Shrug is how it uses that probability. You might expect a simple rule: reply if <mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.138ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 503 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="p > 0.5"><g data-mml-node="mi" data-latex="p"><path data-c="1D45D" d="M355 442C311 442 269 419 228 373C217 419 186 442 137 442C96 442 66 409 45 344C35 311 30 292 30 286C30 277 35 272 46 272C51 272 54 273 57 275C62 284 65 291 66 298C84 374 107 412 134 412C152 412 161 398 161 371C161 356 159 339 154 321L44-118C35-151 34-155-5-155C-23-155-32-163-32-178C-32-189-26-194-15-194C0-194 52-191 67-191C86-191 146-194 165-194C180-194 187-186 187-170C187-160 178-155 159-155C141-155 114-156 114-144C114-131 155 26 159 43C179 6 209-13 249-13C314-13 371 20 421 87C467 148 490 213 490 280C490 367 438 442 355 442M352 412C391 412 411 382 411 323C411 296 405 260 394 215C371 128 342 71 307 42C286 25 267 16 248 16C219 16 199 29 188 56C179 77 174 92 174 100L225 309C230 331 248 354 276 377C304 400 329 412 352 412Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"> </mjx-break><svg style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.28ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2333.8 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="p > 0.5"><g data-mml-node="mo" data-latex=">"><path data-c="3E" d="M686 227C696 232 701 239 701 250C701 261 696 268 686 273L112 545C109 546 105 547 101 547C85 547 77 539 77 522C77 513 82 506 91 502L625 250L91-2C82-6 77-13 77-22C77-39 85-47 101-47C105-47 109-46 112-45Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="0.5" transform="translate(1055.8,0)"><path data-c="30" d="M249-22C390-22 460 92 460 320C460 473 428 575 365 625C330 652 291 666 250 666C109 666 39 551 39 320C39 136 88-22 249-22M361 524C368 489 371 425 371 332C371 240 367 172 360 128C347 48 310 8 249 8C226 8 203 17 182 34C155 57 139 104 132 176C129 201 128 253 128 332C128 419 131 480 136 513C145 568 163 603 191 618C213 630 232 636 249 636C314 636 350 583 361 524Z"></path><path data-c="2E" d="M192 53C192 82 168 106 139 106C110 106 86 82 86 53C86 24 110 0 139 0C168 0 192 24 192 53Z" transform="translate(500,0)"></path><path data-c="35" d="M118 315C123 315 129 319 134 326C164 371 205 393 257 393C292 393 319 373 337 332C348 305 354 264 354 209C354 146 346 102 331 76C306 35 272 14 229 14C162 14 109 62 91 114C94 113 96 114 100 114C130 114 155 137 155 167C155 198 130 219 100 219C65 219 50 200 50 163C50 63 131-22 231-22C292-22 344 0 386 44C428 88 449 141 449 202C449 260 432 310 398 353C361 400 315 423 259 423C212 423 171 408 138 378L138 556C165 548 191 544 218 544C264 544 304 555 338 578C369 597 390 616 402 634C408 642 411 648 411 651C411 661 406 666 396 666C341 645 294 634 256 634C211 634 168 643 127 662C122 664 118 665 114 665C105 665 100 656 100 637L100 345C100 324 100 315 118 315Z" transform="translate(778,0)"></path></g></g></g></svg></mjx-container>, stay silent otherwise. But that’s not how humans work.</p><p>Think about your own behavior in conversations. Sometimes you see a message at <mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.138ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 503 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="p = 0.9"><g data-mml-node="mi" data-latex="p"><path data-c="1D45D" d="M355 442C311 442 269 419 228 373C217 419 186 442 137 442C96 442 66 409 45 344C35 311 30 292 30 286C30 277 35 272 46 272C51 272 54 273 57 275C62 284 65 291 66 298C84 374 107 412 134 412C152 412 161 398 161 371C161 356 159 339 154 321L44-118C35-151 34-155-5-155C-23-155-32-163-32-178C-32-189-26-194-15-194C0-194 52-191 67-191C86-191 146-194 165-194C180-194 187-186 187-170C187-160 178-155 159-155C141-155 114-156 114-144C114-131 155 26 159 43C179 6 209-13 249-13C314-13 371 20 421 87C467 148 490 213 490 280C490 367 438 442 355 442M352 412C391 412 411 382 411 323C411 296 405 260 394 215C371 128 342 71 307 42C286 25 267 16 248 16C219 16 199 29 188 56C179 77 174 92 174 100L225 309C230 331 248 354 276 377C304 400 329 412 352 412Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"> </mjx-break><svg style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.28ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2333.8 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="p = 0.9"><g data-mml-node="mo" data-latex="="><path data-c="3D" d="M698 367L80 367C64 367 56 359 56 344C56 329 64 321 80 321L698 321C714 321 722 329 722 344C722 356 711 367 698 367M698 179L80 179C64 179 56 171 56 156C56 141 64 133 80 133L698 133C714 133 722 141 722 156C722 169 711 179 698 179Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="0.9" transform="translate(1055.8,0)"><path data-c="30" d="M249-22C390-22 460 92 460 320C460 473 428 575 365 625C330 652 291 666 250 666C109 666 39 551 39 320C39 136 88-22 249-22M361 524C368 489 371 425 371 332C371 240 367 172 360 128C347 48 310 8 249 8C226 8 203 17 182 34C155 57 139 104 132 176C129 201 128 253 128 332C128 419 131 480 136 513C145 568 163 603 191 618C213 630 232 636 249 636C314 636 350 583 361 524Z"></path><path data-c="2E" d="M192 53C192 82 168 106 139 106C110 106 86 82 86 53C86 24 110 0 139 0C168 0 192 24 192 53Z" transform="translate(500,0)"></path><path data-c="39" d="M116 140C83 140 67 123 67 89C67 14 128-22 207-22C287-22 351 18 398 99C437 166 457 243 457 329C457 456 434 546 388 599C349 644 304 666 253 666C194 666 145 645 106 602C63 557 42 503 42 440C42 379 60 327 96 284C134 238 183 215 242 215C294 215 334 243 361 299L361 286C361 177 342 103 303 63C272 30 239 14 206 14C166 14 137 23 118 42C149 42 165 60 165 91C165 119 144 140 116 140M243 246C204 246 175 266 155 306C144 329 138 374 138 439C138 504 145 548 158 573C180 613 212 633 253 633C294 633 324 608 343 558C354 531 361 485 361 420C361 333 322 246 243 246Z" transform="translate(778,0)"></path></g></g></g></svg></mjx-container> and still decide not to reply. Other times something at <mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.138ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 503 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="p = 0.2"><g data-mml-node="mi" data-latex="p"><path data-c="1D45D" d="M355 442C311 442 269 419 228 373C217 419 186 442 137 442C96 442 66 409 45 344C35 311 30 292 30 286C30 277 35 272 46 272C51 272 54 273 57 275C62 284 65 291 66 298C84 374 107 412 134 412C152 412 161 398 161 371C161 356 159 339 154 321L44-118C35-151 34-155-5-155C-23-155-32-163-32-178C-32-189-26-194-15-194C0-194 52-191 67-191C86-191 146-194 165-194C180-194 187-186 187-170C187-160 178-155 159-155C141-155 114-156 114-144C114-131 155 26 159 43C179 6 209-13 249-13C314-13 371 20 421 87C467 148 490 213 490 280C490 367 438 442 355 442M352 412C391 412 411 382 411 323C411 296 405 260 394 215C371 128 342 71 307 42C286 25 267 16 248 16C219 16 199 29 188 56C179 77 174 92 174 100L225 309C230 331 248 354 276 377C304 400 329 412 352 412Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="4"> </mjx-break><svg style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.28ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2333.8 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="p = 0.2"><g data-mml-node="mo" data-latex="="><path data-c="3D" d="M698 367L80 367C64 367 56 359 56 344C56 329 64 321 80 321L698 321C714 321 722 329 722 344C722 356 711 367 698 367M698 179L80 179C64 179 56 171 56 156C56 141 64 133 80 133L698 133C714 133 722 141 722 156C722 169 711 179 698 179Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="0.2" transform="translate(1055.8,0)"><path data-c="30" d="M249-22C390-22 460 92 460 320C460 473 428 575 365 625C330 652 291 666 250 666C109 666 39 551 39 320C39 136 88-22 249-22M361 524C368 489 371 425 371 332C371 240 367 172 360 128C347 48 310 8 249 8C226 8 203 17 182 34C155 57 139 104 132 176C129 201 128 253 128 332C128 419 131 480 136 513C145 568 163 603 191 618C213 630 232 636 249 636C314 636 350 583 361 524Z"></path><path data-c="2E" d="M192 53C192 82 168 106 139 106C110 106 86 82 86 53C86 24 110 0 139 0C168 0 192 24 192 53Z" transform="translate(500,0)"></path><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612C69 576 50 534 50 483C50 449 75 424 106 424C136 424 161 450 161 480C161 513 137 536 105 536C102 536 100 536 98 535C117 584 161 627 224 627C306 627 352 556 352 470C352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0L450 180L417 180C409 129 402 100 396 91C391 86 361 84 306 84L139 84L236 179C304 243 390 312 419 365C439 400 449 435 449 470C449 588 357 666 237 666Z" transform="translate(778,0)"></path></g></g></g></svg></mjx-container> catches your attention and you interject anyway. Humans are probabilistic, not deterministic.</p><p>Shrug embraces this. The model outputs only the probability <mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.439ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.138ex" height="1.439ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 503 636"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="p"><g data-mml-node="mi" data-latex="p"><path data-c="1D45D" d="M355 442C311 442 269 419 228 373C217 419 186 442 137 442C96 442 66 409 45 344C35 311 30 292 30 286C30 277 35 272 46 272C51 272 54 273 57 275C62 284 65 291 66 298C84 374 107 412 134 412C152 412 161 398 161 371C161 356 159 339 154 321L44-118C35-151 34-155-5-155C-23-155-32-163-32-178C-32-189-26-194-15-194C0-194 52-191 67-191C86-191 146-194 165-194C180-194 187-186 187-170C187-160 178-155 159-155C141-155 114-156 114-144C114-131 155 26 159 43C179 6 209-13 249-13C314-13 371 20 421 87C467 148 490 213 490 280C490 367 438 442 355 442M352 412C391 412 411 382 411 323C411 296 405 260 394 215C371 128 342 71 307 42C286 25 267 16 248 16C219 16 199 29 188 56C179 77 174 92 174 100L225 309C230 331 248 354 276 377C304 400 329 412 352 412Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container>. It’s up to the client — your application code — to draw a random number <mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.02ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 451 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="r \sim U(0, 1)"><g data-mml-node="mi" data-latex="r"><path data-c="1D45F" d="M436 374C436 416 395 442 351 442C302 442 261 419 227 372C217 411 183 442 136 442C95 442 65 410 44 345C34 312 29 293 29 287C29 278 34 273 45 273C50 273 53 274 56 276C61 285 64 292 65 299C83 375 106 413 133 413C150 413 159 399 159 371C159 358 154 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19C78-1 89-11 110-11C130-11 143-1 150 19L169 91C180 134 187 162 190 175L221 303C223 311 231 324 244 343C271 381 302 413 351 413C363 413 373 411 382 406C352 397 337 378 337 351C337 325 351 312 378 312C411 312 436 341 436 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This means:</p><ul><li>At <mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.138ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 503 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="p = 0.9"><g data-mml-node="mi" data-latex="p"><path data-c="1D45D" d="M355 442C311 442 269 419 228 373C217 419 186 442 137 442C96 442 66 409 45 344C35 311 30 292 30 286C30 277 35 272 46 272C51 272 54 273 57 275C62 284 65 291 66 298C84 374 107 412 134 412C152 412 161 398 161 371C161 356 159 339 154 321L44-118C35-151 34-155-5-155C-23-155-32-163-32-178C-32-189-26-194-15-194C0-194 52-191 67-191C86-191 146-194 165-194C180-194 187-186 187-170C187-160 178-155 159-155C141-155 114-156 114-144C114-131 155 26 159 43C179 6 209-13 249-13C314-13 371 20 421 87C467 148 490 213 490 280C490 367 438 442 355 442M352 412C391 412 411 382 411 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39 551 39 320C39 136 88-22 249-22M361 524C368 489 371 425 371 332C371 240 367 172 360 128C347 48 310 8 249 8C226 8 203 17 182 34C155 57 139 104 132 176C129 201 128 253 128 332C128 419 131 480 136 513C145 568 163 603 191 618C213 630 232 636 249 636C314 636 350 583 361 524Z"></path><path data-c="2E" d="M192 53C192 82 168 106 139 106C110 106 86 82 86 53C86 24 110 0 139 0C168 0 192 24 192 53Z" transform="translate(500,0)"></path><path data-c="39" d="M116 140C83 140 67 123 67 89C67 14 128-22 207-22C287-22 351 18 398 99C437 166 457 243 457 329C457 456 434 546 388 599C349 644 304 666 253 666C194 666 145 645 106 602C63 557 42 503 42 440C42 379 60 327 96 284C134 238 183 215 242 215C294 215 334 243 361 299L361 286C361 177 342 103 303 63C272 30 239 14 206 14C166 14 137 23 118 42C149 42 165 60 165 91C165 119 144 140 116 140M243 246C204 246 175 266 155 306C144 329 138 374 138 439C138 504 145 548 158 573C180 613 212 633 253 633C294 633 324 608 343 558C354 531 361 485 361 420C361 333 322 246 243 246Z" transform="translate(778,0)"></path></g></g></g></svg></mjx-container>, there’s still a <mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.05ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.262ex" height="1.557ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 1000 688"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="10%"><g data-mml-node="mn" data-latex="10%"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47C195 42 170 39 130 39L95 39L95 0C120 2 174 3 257 3C340 3 394 2 419 0L419 39L384 39C343 39 318 42 310 47C302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path><path data-c="30" d="M249-22C390-22 460 92 460 320C460 473 428 575 365 625C330 652 291 666 250 666C109 666 39 551 39 320C39 136 88-22 249-22M361 524C368 489 371 425 371 332C371 240 367 172 360 128C347 48 310 8 249 8C226 8 203 17 182 34C155 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still a <mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.05ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.262ex" height="1.557ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 1000 688"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="10%"><g data-mml-node="mn" data-latex="10%"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47C195 42 170 39 130 39L95 39L95 0C120 2 174 3 257 3C340 3 394 2 419 0L419 39L384 39C343 39 318 42 310 47C302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path><path data-c="30" d="M249-22C390-22 460 92 460 320C460 473 428 575 365 625C330 652 291 666 250 666C109 666 39 551 39 320C39 136 88-22 249-22M361 524C368 489 371 425 371 332C371 240 367 172 360 128C347 48 310 8 249 8C226 8 203 17 182 34C155 57 139 104 132 176C129 201 128 253 128 332C128 419 131 480 136 513C145 568 163 603 191 618C213 630 232 636 249 636C314 636 350 583 361 524Z" transform="translate(500,0)"></path></g></g></g></svg></mjx-container> chance of an interjection</li></ul><p>This naturally introduces the imperfections that make human conversation feel real: hesitation, omission, and impulse.</p><div class="container">  <div class="shrug-demo">    <div class="demo-header">      <label for="probability-slider">Reply Probability: <span id="probability-value">0.50</span></label>      <input type="range" id="probability-slider" min="0" max="100" value="50">    </div>    <div class="demo-visualization-container">      <div class="demo-row" id="demo-row"></div>    </div>    <p class="demo-caption">Each dot represents one decision. Green = replied, Gray = silent. Click "Regenerate" to see new random outcomes.</p>    <button id="regenerate-btn" class="action-button-primary">Regenerate</button>  </div></div><h2 id="How-It-Works"><a href="#How-It-Works" class="headerlink" title="How It Works"></a>How It Works</h2><p>Under the hood, Shrug is a binary classifier built on top of a language model. I use Qwen3-8B with LoRA adapters for efficient fine-tuning, which means only a small fraction of the model’s parameters are updated during training.</p><p>The training data is remarkably simple: a chronological stream of messages from my own conversations, tagged as either <code>&lt;me&gt;</code> or <code>&lt;others&gt;</code>. A sliding window moves over this stream and asks one question: given these last N messages, did I send the next one? If yes, the label is 1. If no, the label is 0.</p><p>What’s interesting is that consecutive messages from me are valid positives. The task isn’t turn-taking detection (“is it my turn?”); it’s reply-decision modeling (“would I have replied to this?”). Even if I just sent three messages in a row, the model learns that I might send a fourth.</p><p>All messages are considered read. Silence is treated as a deliberate decision, not as “didn’t see it.” This is an important philosophical choice: in human conversation, not replying is itself a form of communication.</p><p>If you want to see the exact architecture, data pipeline, and training code, it’s all in the <a href="https://github.com/MrWillCom/Shrug">Shrug repository</a>.</p><h2 id="From-2-Hours-to-38-Minutes"><a href="#From-2-Hours-to-38-Minutes" class="headerlink" title="From 2 Hours to 38 Minutes"></a>From 2 Hours to 38 Minutes</h2><p>My first training run took 1 hour and 59 minutes. For a model that just outputs a single number, this felt unexpectedly long. But after iterating on the training configuration, I got it down to 38 minutes.</p><p>The biggest gains came from reducing the context window: from 36 messages down to 16. Looking at my own message history, most reply decisions don’t require that much context. Smaller windows mean fewer tokens per sample, which directly translates to faster training.</p><p>I also cut the training from 3 epochs to 2. The model converged quickly, so that third epoch was mostly redundant. Other changes — a lower learning rate with a constant-with-warmup scheduler, reduced warmup ratio, and larger LoRA rank and alpha — helped the model learn more efficiently per epoch rather than simply training longer.</p><p>A subtler but important addition was dynamic class weighting. In conversation data, “not replying” is far more common than “replying.” By weighting the loss function inversely to class frequency, the model learned faster from the minority class instead of defaulting to “always silent.”</p><p>Here’s what the training looked like before and after:</p><figure>  <img src="/img/000093.webp" alt="Original 3-epoch training run taking 1 hour 59 minutes">  <figcaption>Original 3-epoch training. Loss hovered around 4–6 with unstable gradients (peak 664.2). The third epoch showed diminishing returns.</figcaption></figure><figure>  <img src="/img/000094.webp" alt="Optimized 2-epoch training run taking 38 minutes">  <figcaption>Optimized 2-epoch training. Loss dropped to ~0.5, gradient spikes tamed to 60.9, and the confusion matrix shows strong performance (816 true negatives, 486 true positives).</figcaption></figure><h2 id="Where-This-Could-Go"><a href="#Where-This-Could-Go" class="headerlink" title="Where This Could Go"></a>Where This Could Go</h2><p>Shrug is currently a personal experiment, but the concept has broader implications. Any chatbot living in a group chat or handling DMs could benefit from a reply-decision layer. Imagine:</p><ul><li>A Discord bot that knows when a conversation doesn’t involve it</li><li>A customer support AI that stays quiet when users are clearly talking to each other</li><li>A personal assistant that doesn’t interrupt your flow with unnecessary confirmations</li></ul><p>The ultimate goal is making AI feel less robotic by giving it the ability to choose silence. Real conversation isn’t just about what you say — it’s about when you choose not to say anything at all.</p><p>If this idea resonates with you, the code is open source at <a href="https://github.com/MrWillCom/Shrug">MrWillCom/Shrug</a>.</p><h2 id="Why-“Shrug”"><a href="#Why-“Shrug”" class="headerlink" title="Why “Shrug”?"></a>Why “Shrug”?</h2><p>The name comes from that moment of hesitation before deciding whether to reply. You read a message, shrug to yourself, and make a call. Sometimes you respond. Sometimes you don’t. The shrug is the decision.</p><p>¯\_(ツ)_/¯</p><style>.shrug-demo {  margin: 24px 0;}.demo-header {  display: flex;  align-items: center;  gap: 16px;  margin-bottom: 20px;  flex-wrap: wrap;}.demo-header label {  font-weight: 500;  font-size: 15px;  color: var(--color-text-secondary);}#probability-slider {  flex: 1;  min-width: 200px;  accent-color: var(--color-background-accent);}#probability-value {  color: var(--color-text-primary);  font-family: var(--font-monospace);  font-weight: 600;  min-width: 40px;  display: inline-block;}.demo-visualization-container {  container: demo-viz / inline-size;  width: 100%;  margin-bottom: 12px;}.demo-row {  display: grid;  gap: 8px;  grid-template-columns: repeat(12, 1fr);}@container demo-viz (min-width: 300px) {  .demo-row {    grid-template-columns: repeat(16, 1fr);  }}@container demo-viz (min-width: 500px) {  .demo-row {    grid-template-columns: repeat(24, 1fr);  }}.demo-dot {  width: 100%;  aspect-ratio: 1;  border-radius: 50%;  background-color: var(--color-border-secondary);  transition: background-color 0.15s;}.demo-dot.replied {  background-color: #34c759;}.demo-caption {  color: var(--color-text-secondary);  font-size: 13px;  text-align: center;  margin-bottom: 16px;}#regenerate-btn {  display: block;  margin: 0 auto;}</style><script>(() => {  const slider = document.getElementById('probability-slider');  const valueDisplay = document.getElementById('probability-value');  const demoRow = document.getElementById('demo-row');  const regenerateBtn = document.getElementById('regenerate-btn');  const dots = Array.from({ length: 48 }, () => {    const dot = document.createElement('div');    dot.className = 'demo-dot';    demoRow.appendChild(dot);    return dot;  });  function update() {    const p = parseInt(slider.value) / 100;    valueDisplay.textContent = p.toFixed(2);    dots.forEach(dot => dot.classList.toggle('replied', Math.random() < p));  }  slider.addEventListener('input', update);  regenerateBtn.addEventListener('click', update);  update();})();</script><style>@import url('https://unpkg.com/@ibm/plex-serif@1/css/ibm-plex-serif-all.min.css');.post .meta, .post .content {  font-family: 'IBM Plex Serif', var(--font-sans-serif);}.about-aigc-note {  color: var(--color-text-secondary);}</style>]]>
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    <published>2026-05-27T08:57:23.000Z</published>
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      <![CDATA[<p>Have you ever been in a group chat where someone says “lol” and an AI bot immediately responds with a full paragraph? Or sent a quick “ok]]>
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    <title>Teaching AI When to Stay Silent</title>
    <updated>2026-08-11T07:44:39.381Z</updated>
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      <name>Mr. Will</name>
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      <![CDATA[<p>超星学习通里，可以设置语言。默认情况下，学习通会跟随系统或浏览器语言。我的浏览器默认语言是英语（美国），所以我需要手动给学习通设置为中文。</p><p>但很可惜，这个设置项的行为令人迷惑。界面不会完全变成中文，只有界面的一部分是中文，而其余部分则依然保持英语。有些情况可以解释，因为学习通为了处理界面不同部分的重用，选择了极为罕见的方案——<code>iframe</code>。<span class="spoiler">是的，你绝对想不到在 2026 年还有人把 <code>iframe</code> 当组件来嵌套。</span>很可能是由于 <code>iframe</code> 里得不到外部的语言设置导致的。当然，也有一些是处于 <code>iframe</code> 外的、看起来没啥难点的情况，却仍是英语的，实在令人费解。</p><p>于是，我就顺势品了品学习通优美的英语。让我们开始吧！</p><p>先来个开胃小菜，单复数不分：</p><p><img src="/img/000083.webp" alt="“一. 单选题（1 questions）”"></p><p>一招“score”走天下：</p><div class="carousel" style="--ci-max-h: 120px">  <img src="/img/000081.webp" alt="“100.0 score”" class="carousel-item" />  <img src="/img/000085.webp" alt="“一. 多选题（100score）”" class="carousel-item" /></div><p>一口气把单词和数字全粘在一起！序数词什么的，没什么大不了的！而且这次我们不在数字后使用“score”了，而是选择全新升级的“mark”。“答题记录”直接逐词翻译为“Answer record”，想也不用想？</p><p><img src="/img/000087.webp" alt="“Answer record (total2times); the1times 0.0mark; the2times Top score 100.0mark”"></p><p>光一个“Submitted”太短了，完全没有格调。“Submission Time”看起来就厉害多了！单独一个“Score”也是不行，当然要加点料。</p><div class="block-large">  <img src="/img/000088.webp" alt="“the1timesanswer(Submission Time: 2026-01-11 15:56:15) Score this time 0.0 mark”" /></div><p>我编不出来了。“Answer for the 1 time”的意思是第一次答题——“Attempt 1”。“This time”是废话。同时又重新使用了“score”。</p><p><img src="/img/000080.webp" alt="“Answer for the 1 time, This time 100 score”"></p><p>“可重做”——“To repeat”。“time published”和“Closing time”，同种信息但颠倒的表达方式。而且这说法也是怪得没边了，“Published”和“Deadline”不就完事了吗？最为重磅的是“ReDo”。使用“Redo”“redo”“REDO”的话都问题不大，倒是偏偏给“d”大写，是想拆开一个单词，然后使用大驼峰命名法吗？</p><p><img src="/img/000084.webp" alt="“To repeat; Name：韦一敏; ID: 1234567890; time published: 2026-01-09 09:00; Closing time: 2026-01-10 23:00; ReDo”"></p><p>“测试将要被拿走。”“已完成 49% 以参加考试。”等下，你不是知道考试可以用“exam”吗？为何还丢一个“Test”在这？</p><p><img src="/img/000090.webp" alt="“Test; To be Taken; Done 49% task points to take exam”"></p><p>不知道在说什么了。搞得跟我在这遗失了 100 次一样：</p><p><img src="/img/000079.webp" alt="“Redo (left 100 times)”"></p><p>是要对我进行智商测试，还是要分析军事情报？<span class="spoiler">实际意思是“智能分析”、“智慧分析”。</span></p><p><img src="/img/000086.webp" alt="“Intelligence analysis”"></p><p>还是用“Correct”比较好吧。“答案解析”，一个“Explanation”不就好了？</p><p>  <img src="/img/000082.webp" alt="“My Answer: C; Right answer: C; Answer analysis: …”" style="width: auto; margin: auto; display: block;" /></p><p>“当前页面包含 9”——一句话留下了浪漫的悬念、捉摸不透的情愫。明明“Creation Date”、“Date Created”、“Created At”都可以，偏要“创造了时间”。</p><p><img src="/img/000089.webp" alt="“The current page contains 9; Uploader, Created time”"></p><p>“请重做一次，不要合格。”<span class="spoiler">实际意思是“未及格，请重做。”</span></p><p><img src="/img/000091.webp" alt="“Please do it again without reaching the line”"></p><p>这证书，多是一件美事啊～<span class="spoiler">应为“Certificate of Excellence”。</span></p><p><img src="/img/000092.webp" alt="“优秀证书; EXCELLENT CERTIFICATION”"></p><style>.spoiler {  filter: blur(5px);  opacity: 0.6;  transition-property: filter, opacity;  transition-duration: 0.15s;}.spoiler:hover {  filter: none;  opacity: 1;}.carousel > .carousel-item {  height: var(--ci-max-h);}</style>]]>
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    <published>2026-04-05T12:03:48.000Z</published>
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      <![CDATA[<p>超星学习通里，可以设置语言。默认情况下，学习通会跟随系统或浏览器语言。我的浏览器默认语言是英语（美国），所以我需要手动给学习通设置为中文。</p>
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    <title>不会翻译的话，其实可以不翻译的</title>
    <updated>2026-08-11T07:44:39.381Z</updated>
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      <![CDATA[<p>Today is the vernal equinox—the date I picked for the debut of The Vernal Fortnightly. I’m so excited to introduce my brand-new personal journal to you.</p><p>As you know, my blog posts here have been a bit unpredictable, making it hard to anticipate the next post. Sometimes I even spend so much time on a single piece that something may get potentially outdated before publishing. The Vernal Fortnightly is here to fix that. By launching this newsletter, I’m committing to a consistent schedule: a new issue every two weeks, carrying my latest updates.</p><p>The fortnightly will focus on my life experience, fresh experiments, product or project updates and personal curations. I’ll be gathering thoughts and fine-tuning them throughout the fortnight to ensure every issue is ready for your inbox.</p><div class="container">  <div class="card">    <div class="cover-img">      <img alt="The logo of The Vernal Fortnightly." src="/img/000078.webp">    </div>    <div class="content">      <p class="title playfair-display">The Vernal Fortnightly</p>    </div>    <div class="actions">      <div class="right">        <a class="action-button-primary" href="https://vernal.mrwillcom.com/" target="_blank">Visit</a>        <a class="action-button-primary" href="https://vernal.mrwillcom.com/rss.xml">Subscribe via RSS</a>      </div>    </div>  </div></div><style>@import url('https://fonts.googleapis.com/css2?family=Playfair+Display:wght@500&display=swap');@import url('https://fonts.googleapis.com/css2?family=Playfair:opsz@5..1200&display=swap');#main-content > * > .meta .title, .playfair-display {  font-family: "Playfair Display", serif;  font-optical-sizing: auto;  font-weight: 500;  font-style: normal;}.action-button-primary, .playfair {  font-family: "Playfair", serif;  font-optical-sizing: auto;  font-weight: 400;  font-style: normal;  font-variation-settings:    "wdth" 100;}.post > .cover {  display: none;}#main-content > * > .meta {  text-align: center;}.card .cover-img {  height: 360px;}.card .actions .left, .card .actions .right {  gap: 6px;}</style>]]>
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      <![CDATA[<p>Today is the vernal equinox—the date I picked for the debut of The Vernal Fortnightly. I’m so excited to introduce my brand-new personal]]>
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    <title>Announcing The Vernal Fortnightly</title>
    <updated>2026-08-11T07:44:39.381Z</updated>
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      <![CDATA[<p style="text-align: center"><small><strong>时光机</strong> · <a href="/2023/12/26/2023-review/">2023 年度总结</a></small></p><hr class="break-divider" /><h2 id="开源"><a href="#开源" class="headerlink" title="开源"></a>开源</h2><div class="block-large">  <img src="/img/000071.webp" alt="GitHub 贡献绿点图" /></div><p>六月高考结束后，活动肉眼可见地大幅增多。虽然下半年确实有更多时间做一些自己的事，但是多少有些没有方向和想法，所以总是写一写停一停的。</p><p><a href="https://reneur.link/">Reneur</a> 是我十月想出来的一个项目，我觉得这个比较简单，部署给大众使用也不会造成很大的存储负担，于是决定写写这个来练练手。原计划其实是十二月公开测试，实际上现在还在 waitlist 阶段。现在我打算寒假赶赶，预计 Reneur 会在 2026 第一季度公开测试和发布。</p><hr class="break-divider" /><p>此外，2026 年请大家不要忘记 <a href="https://tailwindcss.com/">Tailwind CSS</a> 给世界带来的巨大灾祸！</p><p>Tailwind 不能与我所爱的 <a href="https://sass-lang.com/">SCSS（Sass）</a>共存——<a href="https://tailwindcss.com/docs/compatibility#sass-less-and-stylus">“<em>Think of Tailwind CSS itself as your preprocessor — you shouldn’t use Tailwind with Sass for the same reason you wouldn’t use Sass with Stylus.</em>”</a>——导致我很难用上一些依赖 Tailwind 的组件库。我一旦看到它们依赖 Tailwind，心就凉了半截，最后基本上都只能我自己设计，自己写。其它问题详见我前些天写的<a href="/2026/01/09/Tailwind-as-a-Headwind/">《Tailwind as a Headwind》</a>。</p><p>希望大家能认清 Tailwind 的真面目，不要跟风使用它。现在，在 AI 的辅助下，写 CSS 比以往任何时候都要更容易更简单，所以请不要再让 Tailwind 污染全世界了好吗？！</p><h2 id="站点-Insights"><a href="#站点-Insights" class="headerlink" title="站点 Insights"></a>站点 Insights</h2><p>今年又把 analytics 服务从 <a href="https://umami.is/">Umami</a> 转到了 <a href="https://openpanel.dev/">OpenPanel</a>。原因是 Umami 数据只保留 6 个月，不论是写年终总结，还是看更长时间尺度上的趋势，都很难满足。我曾想过每半年导出一次数据，然后自己拼接，自己做数据分析，可是终究觉得实在麻烦，所以找来找去选择了颜值较高的 OpenPanel。OpenPanel 可以长期保留数据，价格是按照用量阶梯计费的，价格一般。</p><h3 id="Blog"><a href="#Blog" class="headerlink" title="Blog"></a>Blog</h3><div class="block-large">  <img src="/img/000069.webp" alt="访客数统计曲线" /></div><p>通过下半年的数据（8 月 10 日起），估算出整年的访客数约 4553.57 人，访问量约 7562.90。</p><h3 id="Home-Page"><a href="#Home-Page" class="headerlink" title="Home Page"></a>Home Page</h3><div class="block-large">  <img src="/img/000070.webp" alt="访客数统计曲线" /></div><p>同样通过下半年的数据（8 月 8 日起），估算出整年的访客数约 1817.45 人，访问量约 1,968.48。</p><hr class="break-divider" /><p>就我个人的感觉来说，今年的数据不如去年，可能是我之前更新和活动较少导致的。希望 2026 流量能够上涨一些。</p><h2 id="摄影"><a href="#摄影" class="headerlink" title="摄影"></a>摄影</h2><p>今年用相机记录下了大约 1.6k 张&#x2F;段影像。主要是上半年高考备考，所以相较去年有很大程度减少。此外，由于之前那一台 Canon EOS M3 应该是差不多九岁了，翻转屏和 SD 卡槽已经不灵光了。高考完之后，决定彻底升级一次，于是入手了一台新相机来替代它。全画幅传感器的新相机配上大变焦头 24-200 mm，出门玩只需一机一镜，也是爽爽的。</p><p>十二月再次施放传统艺能，做了一套明信片，并且给好友们各寄了一套。我给它取名叫“<ruby>Post<rt>后</rt></ruby><ruby>summer<rt>夏</rt></ruby>”，本意是后夏，这里表达初秋。</p><div class="carousel">  <img src="/img/000072.webp" alt="明信片的展示图片（1/5）" class="carousel-item" />  <img src="/img/000073.webp" alt="明信片的展示图片（2/5）" class="carousel-item" />  <img src="/img/000074.webp" alt="明信片的展示图片（3/5）" class="carousel-item" />  <img src="/img/000075.webp" alt="明信片的展示图片（4/5）" class="carousel-item" />  <img src="/img/000076.webp" alt="明信片的展示图片（5/5）" class="carousel-item" /></div><h2 id="开店"><a href="#开店" class="headerlink" title="开店"></a>开店</h2><p>Postsummer 系列明信片不仅我的朋友们可以拥有，正在阅读本文的你或许也可以获得一份。因为，我在小红书上开店了——<a href="https://www.xiaohongshu.com/shop/683e945d5c987e001553055b">Will 的店</a>。我预留了些许的库存公开在小红书上售卖：<a href="https://www.xiaohongshu.com/goods-detail/69416947bd92f50001874a6c">「Postsummer」系列明信片</a>。</p><p>自从申请了小红书个人店，帖子的流量就非常低，甚至连互关的好友都刷不到我的帖子。这一变化我原本早有预料，但未曾想到会这么夸张，或许之后我会需要充钱买流量了。</p><h2 id="Roadmap"><a href="#Roadmap" class="headerlink" title="Roadmap"></a>Roadmap</h2><p>一张大致的 2026 路线图：</p><dl class="container timeline-roadmap">  <dt>第一季度</dt>  <dd>    <ul>      <li><span class="product-name">Nurtinit</span>产品发布</li>      <li><span class="product-name">Reneur</span>产品发布</li>      <li><span class="product-name">Swift Student Challenge 2026</span>参赛</li>    </ul>  </dd>  <dt>第二季度</dt>  <dd>    <ul>        <li><span class="product-name">Nurtinit</span>开放源代码</li>    </ul>  </dd>  <dt>下半年</dt>  <dd>    <ul>        <li><span class="product-name">暂时未定名称的社交媒体应用</span>产品发布</li>    </ul>  </dd></dl><style>.timeline-roadmap {  dt {    font-weight: 600;    margin-top: 12px;    &:first-child {      margin-top: 0;    }  }  dd {    margin-left: 1em;    ul {      margin-block-start: 0.2em !important;      margin-block-end: 0.2em !important;      padding: 0 !important;      font-size: 16px;      list-style: none;      li {        span.product-name {          font-weight: 600;          margin-right: 6px;        }      }    }  }}</style><p><a href="https://nurtinit.mrwillcom.com/">Nurtinit</a> 是一个实验性项目，除了其本身的功能以外，它还有额外的但暂时不能揭晓的意义。<a href="https://developer.apple.com/swift-student-challenge">Swift Student Challenge 2026</a> 参赛作品可能在参赛后晚些时候公开或发布。如你所见，我将在 2026 尝试不少实验性的项目，一方面是想实现一些喜欢的想法，另一方面是想熟悉一下整个流程。当然，这些项目也并非不可能被放鸽子。</p><h2 id="AI"><a href="#AI" class="headerlink" title="AI"></a>AI</h2><p>今年以 <a href="https://www.deepseek.com/">DeepSeek</a> 引起的巨大轰动开始。它以其惊艳的性能和价格告诉世人，高质量模型可以很实惠。我 2023 年初就试玩了当时的 ChatGPT，可惜一直到 DeepSeek R1 的流行，都没有一个优良的 reasoning 模型可供我使用。DeepSeek R1 作为一个 reasoning 模型，真的是在写提示词这方面帮了我大忙。从此我不需要心惊胆战地试图把提示词写得万无一失，也不再需要反复强调和复制粘贴。（当然也有可能是我以前用的模型太差了。）在 OpenAI、Anthropic 几乎已经在 AI 领域站稳脚跟的时候，DeepSeek 的流行可以称得上是 game-changer。</p><p>而正是 DeepSeek 的普及，每个人都能用上热乎的模型了。于是很多人终于发现，自己所从事的工作实际上很容易被大语言模型取代。只要有足够的提示词工程能力，手中的大语言模型能做得比人更好。我们花费时间积累的经验，现在在大语言模型眼里不值一提。每隔几周，甚至更短，就会有新的模型迭代，远比我们的学习更快。</p><p>一段时间之后，阿里千问开始迎头赶上，逐步成为了开源模型中的头牌。这段时间里，我选择模型一般都优先考虑千问系列。毕竟千问更新更勤奋，而 DeepSeek 的佛系更新频率很难跟上世界的节奏。</p><p>七月后期，发现了隐藏宝藏——Google Gemini。Google 极为慷慨大方的免费额度，让我能免费自由地使用优秀的 Gemini。当时是 Gemini 2.5 Pro，位居 <a href="https://lmarena.ai/">LMArena</a> 榜首。年末，Google 发布 Gemini 3 Pro 和 Flash，又一次直击 LMArena 榜首。同时，3 Flash 的价格震撼美味依旧，现在是我日常使用的模型。</p><hr class="break-divider" /><p>用大语言模型我一直是选择 <a href="https://openrouter.ai/">OpenRouter</a>。一处充钱，处处可用，始终能选择到最实惠的模型。如果加上“BYOK”的话，还能优先选择你配置的提供商。（写完之后突然感觉这里有点像广告，但是这不是广告，只是寻常的好用服务推荐。）</p><p><a href="https://openrouter.ai/wrapped/2025/3c6592fadcde6824?t=2"><img src="/img/000068.webp" alt="OpenRouter 2025 Wrapped"></a></p><p>网上的 meme 说，我们处于一个轮回之中，让我们一起期待 2026 的第一位嘉宾。</p><p><img src="/img/000067.webp" alt="一张圆形流程图描绘了 AI 公司 OpenAI（ChatGPT）、Google（Gemini）、xAI（Grok）和 Anthropic（Claude）之间不断重复的营销周期。每个图标都伴随着完全相同的短语——“Introducing the world&#39;s most powerful model”，并通过箭头连接成一个循环。"></p><style>#main-content > * > .meta {  .categories {    margin-bottom: 1px;    font-size: 15px;  }  .date {    font-weight: 500;    font-size: 14px;  }  .title {    font-size: 40px;  }}.post > .content {  font-size: 17px;  line-height: 1.6;    a {    color: color-mix(in oklch, var(--color-text-primary), transparent 35%);    &:hover, &:focus-visible {      color: color-mix(in oklch, var(--color-text-primary), transparent 20%);      text-decoration: underline;    }  }}.post hr.break-divider {  max-width: 60px;  border-color: color-mix(in oklch, var(--color-text-primary), transparent 75%);}</style>]]>
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      <![CDATA[<p style="text-align: center"><small><strong>时光机</strong> · <a href="/2023/12/26/2023-review/">2023 年度总结</a></small></p>
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    <title>2025 年终总结</title>
    <updated>2026-08-11T07:44:39.381Z</updated>
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      <name>Mr. Will</name>
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    <content>
      <![CDATA[<p>I’ve been contemplating writing a critique of Tailwind CSS for years. Initially, I assumed Tailwind was simply “not for me” and moved on. However, as it has grown in dominance, I’ve realized its impact on the ecosystem is impossible to ignore.</p><p>Technically, Tailwind is a CSS generator. It scans your project for utility classes and generates a stylesheet based on predefined rules. This approach ensures that unused class names are excluded, and the use of shorthands (aliases) instead of long-form CSS rules is understandably popular. At first glance, the benefits are clear: reduced bundle sizes and the convenience of styling elements without switching to a separate CSS file. It seems peaceful—but that peace is fragile.</p><p>If you stick strictly to Tailwind’s built-in classes, you are safe for the time being. However, the moment you implement custom plugins to support modern CSS features, you hit a wall. The CSS standard is evolving rapidly, and Tailwind cannot always stay up-to-date. To access new features, you must often do the heavy lifting yourself. Writing complex <code>@supports</code> fallbacks within a Tailwind configuration file result in code that is far less readable than native CSS.</p><p>Furthermore, there is the risk of technical debt. You have no way of knowing if your custom solution will align with Tailwind’s future official implementation. One day, you may be forced to migrate by replacing obsolete class names, or worse, your design may break due to naming conflicts.</p><p>Complicated styles are particularly difficult to express in Tailwind. Styles that require deep nesting or heavy reuse become chaotic when crammed into class attributes. This “flat” approach makes maintenance a nightmare. For instance, writing <code>calc()</code> functions in Tailwind is a frustrating experience compared to the clean syntax of a stylesheet.</p><p>One might argue that we should simply switch to native CSS for complex styles since Tailwind is compatible with it. However, in the era of modern at-rules, nesting has become essential. When dealing with multiple at-rules, nesting provides structural clarity and improves the quality of the developer’s logic. It allows me to compose refined CSS more quickly because I can see the hierarchy in a clean list rather than a compact muddle of strings.</p><p>While native CSS nesting is now widely supported, I still cannot abandon Sass. I cannot ignore the ~8% of users on browsers that don’t support native nesting; without it, the entire layout breaks. During this transition period, Sass remains crucial. Yet, when looking for guidance on integrating the two, the Tailwind documentation states:</p><blockquote><p><em>“Think of Tailwind CSS itself as your preprocessor — you shouldn’t use Tailwind with Sass for the same reason you wouldn’t use Sass with Stylus.”</em></p></blockquote><p>This is dogmatic. Tailwind is powerful, but it is not a total replacement for a preprocessor. By failing to acknowledge its weaknesses or accept superior tools for specific tasks, Tailwind Labs is letting down developers.</p><p>As CSS evolves, development is becoming more straightforward, not more complex. Modern features such as <code>@scope</code>, nesting, <code>sibling-index()</code>, and scroll-driven animations allow us to build maintainable projects without legacy overhead. CSS is becoming more structural and comprehensive.</p><p>Structure overshadows flatness. Clarity comes from organization, not obfuscation. We should not step back to a time when we put all our styling in <code>style</code> attributes. For the sake of our common future, please do not choose Tailwind.</p><details class="container">  <summary>Manuscript</summary><p>I’ve been thinking of writing a post to criticize Tailwind CSS for a long time, maybe years. I used to suppose that Tailwind didn’t have much to do with me. However, as it developed, I gradually became wrong.</p><p>Tailwind, in fact, should be considered to be a CSS generator. It finds all mentions in your project and generate CSS according to its rules. So unused class names are not included in generated CSS.</p><p>Plus, Tailwind’s class names are utility-first and are shorthands of the original CSS rules. This is highly appreciated. No long CSS rules any more, the developers use aliases.</p><p>It’s easy to expect that the bundle size is reduced. Developers no longer need to go to a separate CSS file for their styles. Seems peaceful? I hope so.</p><p>If you only use Tailwind’s built-in class names, you’re safe for now. But if you implemented some custom plugins to extend support for more CSS features, you have no way out.</p><p>CSS standard is changing fast, therefore Tailwind can’t be always up-to-date. To access new CSS features, you’ll have to do this job for Tailwind. With complex <code>@supports</code> for fallbacks, your Tailwind configuration file will be much more unreadable than native CSS.</p><p>And, you don’t know whether your solution corresponds to the future Tailwind’s. You may need to migrate to official support in some day in the future by replacing all your obselete class names. Or even worse, your design may break in an unexpected way because of naming conflicts.</p><p>Complicated styles are particularly hard to convey in Tailwind. Some styles need nesting and heavy reuses. Writing them again and again in class names not only creates chaos, but also makes it more difficult to maintain. Calculation in CSS is one of the most notable point here as it requires rational logic and clean syntax to avoid mistakes. You won’t love the experience of writing <code>calc()</code> in Tailwind.</p><p>Till here, you may say that we should switch to native CSS for complex styles when needed because Tailwind is compatible with CSS. But in the era of at-rules, nesting becomes so essentially that I cannot live without it. Especially when dealing with many at-rules, nesting helps me make structure clear and improve my thinking quality. I’m able to compose a fine CSS in a shorter time because I can see what I’ve done in a clean list, not a compact chaos.</p><p>However, though native CSS nesting is now widely supported, I still cannot remove Sass. I can hardly abandon the 8.07% browsers that doesn’t support nesting because the whole webpage breaks without it, which makes it crucial, not optional. As for now, we still need Sass during the transition.</p><p>After that, when I’m trying to look up the docs for the guide on how to add Sass to a Tailwind project, I found:</p><blockquote><p>Think of Tailwind CSS itself as your preprocessor — you shouldn’t use Tailwind with Sass for the same reason you wouldn’t use Sass with Stylus.</p></blockquote><p>That’s dogmatic. Tailwind is powerful, but not enough. Tailwind Labs is not facing up to their weakness, meanwhile not accepting better replacements, making CSS developers like me feel disappointed.</p><p>As CSS develops, CSS developing is only becoming more straightforward and never more complex. Modern CSS features like nesting, allows you to build maintainable projects without the tools we used to use. CSS is evolving to be more structural and comprehensive.</p><p>Structure overshadows flatness. Clarity comes from organizing, not mixing. Do not step back to the time when we put all CSS in <code>style</code> attributes. So do not Tailwind please, for our common future.</p></details><style>@import url('https://unpkg.com/@ibm/plex-sans@1/css/ibm-plex-sans-all.min.css');.post .meta, .post .content {  font-family: 'IBM Plex Sans', var(--font-sans-serif);}.about-aigc-note {  color: var(--color-text-secondary);  .model-name {    white-space: nowrap;    padding: 0;  }}</style>]]>
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    <published>2026-01-09T04:53:48.000Z</published>
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      <![CDATA[<p>I’ve been contemplating writing a critique of Tailwind CSS for years. Initially, I assumed Tailwind was simply “not for me” and moved on.]]>
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    <title>Tailwind as a Headwind</title>
    <updated>2026-08-11T07:44:39.381Z</updated>
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    <author>
      <name>Mr. Will</name>
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      <![CDATA[<script src="https://unpkg.com/baseline-status@1/baseline-status.min.js" type="module"></script><p>My home page is at <a href="https://mrwillcom.com/">mrwillcom.com</a>. Last time I refactor my home page is over 3 years ago. That version was based on Markdown, written in <a href="https://mozilla.github.io/nunjucks">Nunjucks</a> and built by <a href="https://www.11ty.dev/">Eleventy</a>. Information used to live in tables, which wasn’t eye-catching enough. All layouts were similar and boring. This prompts me to begin refactoring my home page again.</p><h2 id="Designing"><a href="#Designing" class="headerlink" title="Designing"></a>Designing</h2><p>My idea is inspired by <a href="http://vercel.com/home">Vercel’s home page</a>. Square and light borders can make the main area stand out and attract the visitors to focus the main area. I used pure white for the main area, but a brighter black for it in dark mode, so the main area is always brighter than the underlying background.</p><p>For typography, I chose <a href="https://rsms.me/inter/">Inter</a> for all sans-serif fonts and <a href="https://vercel.com/font">Geist Mono</a> for monospaced fonts. These fonts behaves well even when they are small. Bigger font size ratio makes it more expressive.</p><p>  <img src="/img/000063.webp" alt="A screenshot of the top part of my new home page." class="force-no-radius" /></p><p>Colors are chosen carefully in mind. The default text colors are subtler than normal, making space for the emphasized text. Font sizes everywhere are adjusted by hand, allowing them to fit the whole context. Many other details are also well-considered, including <em>italics</em>, cases, weights and more.</p><h2 id="Technologies"><a href="#Technologies" class="headerlink" title="Technologies"></a>Technologies</h2><p>This time, I selected <a href="https://nextjs.org/">Next.js</a> as the framework. Next.js handles more at server side, so it performs better in client-side performance and SEO.</p><p><a href="https://tailwindcss.com/">Tailwind CSS</a> sucks. In order to boost my home page, I chose <a href="https://sass-lang.com/">SCSS</a> as usual, elegant and enhanced CSS that does not pollute your codebase.</p><p>In this project, I decided to use state-of-the-art web technologies. I believe these features will be available to more and more visitors.</p><h3 id="sibling-index"><a href="#sibling-index" class="headerlink" title="sibling-index()"></a><a href="https://developer.mozilla.org/docs/Web/CSS/sibling-index"><code>sibling-index()</code></a></h3><p>With <code>sibling-index()</code>, you will no longer need JavaScript for alternating delays of the sibling elements.</p><figure class="highlight html"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="tag">&lt;<span class="name">div</span> <span class="attr">class</span>=<span class="string">&quot;container si-demo&quot;</span>&gt;</span></span><br><span class="line">  <span class="tag">&lt;<span class="name">div</span> <span class="attr">class</span>=<span class="string">&quot;item&quot;</span>&gt;</span><span class="tag">&lt;/<span class="name">div</span>&gt;</span></span><br><span class="line">  <span class="tag">&lt;<span class="name">div</span> <span class="attr">class</span>=<span class="string">&quot;item&quot;</span>&gt;</span><span class="tag">&lt;/<span class="name">div</span>&gt;</span></span><br><span class="line">  <span class="tag">&lt;<span class="name">div</span> <span class="attr">class</span>=<span class="string">&quot;item&quot;</span>&gt;</span><span class="tag">&lt;/<span class="name">div</span>&gt;</span></span><br><span class="line">  <span class="tag">&lt;<span class="name">div</span> <span class="attr">class</span>=<span class="string">&quot;item&quot;</span>&gt;</span><span class="tag">&lt;/<span class="name">div</span>&gt;</span></span><br><span class="line">  <span class="tag">&lt;<span class="name">div</span> <span class="attr">class</span>=<span class="string">&quot;item&quot;</span>&gt;</span><span class="tag">&lt;/<span class="name">div</span>&gt;</span></span><br><span class="line">  <span class="tag">&lt;<span class="name">div</span> <span class="attr">class</span>=<span class="string">&quot;item&quot;</span>&gt;</span><span class="tag">&lt;/<span class="name">div</span>&gt;</span></span><br><span class="line"><span class="tag">&lt;/<span class="name">div</span>&gt;</span></span><br></pre></td></tr></table></figure><figure class="highlight css"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br><span class="line">14</span><br><span class="line">15</span><br><span class="line">16</span><br><span class="line">17</span><br><span class="line">18</span><br><span class="line">19</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="keyword">@keyframes</span> si-demo-animation &#123;</span><br><span class="line">  <span class="number">0%</span> &#123;</span><br><span class="line">    <span class="attribute">opacity</span>: <span class="number">0</span>;</span><br><span class="line">    <span class="attribute">translate</span>: <span class="number">0</span> <span class="number">16px</span>;</span><br><span class="line">  &#125;</span><br><span class="line">  <span class="number">50%</span> &#123;</span><br><span class="line">    <span class="attribute">opacity</span>: <span class="number">1</span>;</span><br><span class="line">    <span class="attribute">translate</span>: <span class="number">0</span>;</span><br><span class="line">  &#125;</span><br><span class="line">  <span class="number">100%</span> &#123;</span><br><span class="line">    <span class="attribute">opacity</span>: <span class="number">0</span>;</span><br><span class="line">    <span class="attribute">translate</span>: <span class="number">0</span> -<span class="number">16px</span>;</span><br><span class="line">  &#125;</span><br><span class="line">&#125;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="selector-class">.si-demo</span> &gt; <span class="selector-class">.item</span> &#123;</span><br><span class="line">  <span class="attribute">animation</span>: si-demo-animation <span class="number">2s</span> infinite;</span><br><span class="line">  <span class="attribute">animation-delay</span>: <span class="built_in">calc</span>(<span class="built_in">sibling-index</span>() * <span class="number">0.1s</span>);</span><br><span class="line">&#125;</span><br></pre></td></tr></table></figure><div class="container si-demo">  <div class="item"></div>  <div class="item"></div>  <div class="item"></div>  <div class="item"></div>  <div class="item"></div>  <div class="item"></div></div><style>.si-demo {  display: flex;}@keyframes si-demo-animation {  0% {    opacity: 0;    translate: 0 16px;  }  50% {    opacity: 1;    translate: 0;  }  100% {    opacity: 0;    translate: 0 -16px;  }}.si-demo > .item {  flex-grow: 1;  height: 48px;  background-color: var(--color-text-primary);  animation: si-demo-animation 2s infinite;  animation-delay: calc(sibling-index() * 0.1s);  --r: var(--radius-small);}.si-demo > .item:first-child {  border-top-left-radius: var(--r);  border-bottom-left-radius: var(--r);}.si-demo > .item:last-child {  border-top-right-radius: var(--r);  border-bottom-right-radius: var(--r);}</style><p>If your browser doesn’t support this feature, you won’t see the demo correctly. Current support status:</p><p><baseline-status featureId="sibling-count"></baseline-status></p><h3 id="animation-timeline-view"><a href="#animation-timeline-view" class="headerlink" title="animation-timeline: view()"></a><a href="https://developer.mozilla.org/docs/Web/CSS/animation-timeline/view"><code>animation-timeline: view()</code></a></h3><p>Yet another un-Javascript-ify feature. With this, you no longer have to use JavaScript for tracking the position in the viewport of an element.</p><figure class="highlight html"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="tag">&lt;<span class="name">div</span> <span class="attr">class</span>=<span class="string">&quot;container view-animation-demo&quot;</span>&gt;</span></span><br><span class="line">  <span class="tag">&lt;<span class="name">div</span> <span class="attr">class</span>=<span class="string">&quot;dot&quot;</span>&gt;</span><span class="tag">&lt;/<span class="name">div</span>&gt;</span></span><br><span class="line"><span class="tag">&lt;/<span class="name">div</span>&gt;</span></span><br></pre></td></tr></table></figure><figure class="highlight css"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br><span class="line">14</span><br><span class="line">15</span><br><span class="line">16</span><br><span class="line">17</span><br><span class="line">18</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="keyword">@keyframes</span> view-animation-demo-animation &#123;</span><br><span class="line">  <span class="number">0%</span> &#123;</span><br><span class="line">    <span class="attribute">opacity</span>: <span class="number">0.6</span>;</span><br><span class="line">    <span class="attribute">width</span>: <span class="number">0%</span>;</span><br><span class="line">  &#125;</span><br><span class="line">  <span class="number">50%</span> &#123;</span><br><span class="line">    <span class="attribute">opacity</span>: <span class="number">1</span>;</span><br><span class="line">  &#125;</span><br><span class="line">  <span class="number">100%</span> &#123;</span><br><span class="line">    <span class="attribute">opacity</span>: <span class="number">0.6</span>;</span><br><span class="line">    <span class="attribute">width</span>: <span class="number">100%</span>;</span><br><span class="line">  &#125;</span><br><span class="line">&#125;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="selector-class">.view-animation-demo</span> &gt; <span class="selector-class">.dot</span> &#123;</span><br><span class="line">  <span class="attribute">animation</span>: view-animation-demo-animation linear both;</span><br><span class="line">  <span class="attribute">animation-timeline</span>: <span class="built_in">view</span>(block);</span><br><span class="line">&#125;</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>Looks like this:</p><div class="container view-animation-demo">  <div class="dot"></div></div><style>@keyframes view-animation-demo-animation {  0% {    opacity: 0.6;    width: 0%;  }  50% {    opacity: 1;  }  100% {    opacity: 0.6;    width: 100%;  }}.view-animation-demo > .dot {  background-color: var(--color-text-primary);  height: 4px;  border-radius: 2px;  animation: view-animation-demo-animation linear both;  animation-timeline: view(block);}</style><p>If your browser doesn’t support this feature, you won’t see the demo correctly. Current support status:</p><p><baseline-status featureId="scroll-driven-animations"></baseline-status></p><h2 id="Optimizing"><a href="#Optimizing" class="headerlink" title="Optimizing"></a>Optimizing</h2><p>During the refactoring of my home page, I wished that my new home page can have a more excellent performance. So I improved my home page’s score according to the Lighthouse scores. The final result is stunning:</p><figure>  <img src="/img/000064.webp" alt="My home page's Lighthouse scores are 95 for Performance, and 100 for Accessibility, Best Practices, and SEO."/>  <figcaption>Tested on MacBook Air M4, the result of "Performance" may vary on different devices.</figcaption></figure><p>You can also <a href="/pages/localhost_2025-09-03_22-29-29.html">view the full report with the report viewer</a>.</p><h2 id="Easter-Eggs"><a href="#Easter-Eggs" class="headerlink" title="Easter Eggs"></a>Easter Eggs</h2><p>I’ve set an easter egg in my new home page. Until now, only 3.73% of the visitors have discovered it. Have fun! 🥳</p><style>.force-no-radius {  --radius-tiny: 0;  --radius-small: 0;  --radius-medium: 0;  --radius-large: 0;  --radius-full: 0;  border-radius: 0;}</style>]]>
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    <published>2025-09-28T09:27:58.000Z</published>
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<p>My home page is at <a href="https://mrw]]>
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    <title>My Home Page, Reimagined</title>
    <updated>2026-08-11T07:44:39.381Z</updated>
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    <author>
      <name>Mr. Will</name>
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      <![CDATA[<p>Recently, I purchased a new MacBook Air. Since this is the second time that I set up a new Mac, I would like to share some useful, essential apps and tips.</p><h2 id="Replace-Spotlight"><a href="#Replace-Spotlight" class="headerlink" title="Replace Spotlight"></a>Replace Spotlight</h2><p>The very first thing to do is to install <a href="https://www.raycast.com/">Raycast</a>, which is more powerful than the built-in Spotlight search. It not only allows me to launch apps more quickly, but also handles my clipboard history, emoji and symbols, and facilitates quick calculations.</p><div class="carousel">  <figure>    <img src="/img/000055.webp" alt="A screenshot of Raycast's currency converter." class="carousel-item" />    <figcaption>Currency converter.</figcaption>  </figure>  <figure>    <img src="/img/000056.webp" alt="A screenshot of Raycast's date and time calculator." class="carousel-item" />    <figcaption>Date and time calculator.</figcaption>  </figure>  <figure>    <img src="/img/000057.webp" alt="A screenshot of Raycast's unit converter." class="carousel-item" />    <figcaption>Unit converter.</figcaption>  </figure>  <figure>    <img src="/img/000058.webp" alt="A screenshot of Raycast's emoji and symbols picker." class="carousel-item" />    <figcaption>Emoji and symbols picker.</figcaption>  </figure></div><h2 id="Chrome’s-Time"><a href="#Chrome’s-Time" class="headerlink" title="Chrome’s Time"></a>Chrome’s Time</h2><p>Safari is definitely not a good browser. Its late support for new web features and infrequent updates are annoying for cutting-edge web development. Therefore, Chrome is essential for a web developer. (Although it is the binge eater of RAM.)</p><h2 id="Homebrew"><a href="#Homebrew" class="headerlink" title="Homebrew"></a>Homebrew</h2><p><a href="https://brew.sh/">Homebrew</a> helps you install software packages easier. With Homebrew, in order to install an app, all you have to do is to search for your desired “Formulae” or “Cask” in <a href="https://formulae.brew.sh/">Homebrew Formulae</a> and run a single command. Once you start using it, you won’t be able to leave it .</p><h2 id="Menubar-Related"><a href="#Menubar-Related" class="headerlink" title="Menubar Related"></a>Menubar Related</h2><p><a href="https://icemenubar.app/">Ice</a> collapse your menubar icons. <a href="https://github.com/macmade/Hot">Hot</a> monitors your Mac’s temperature.</p><h2 id="Terminal"><a href="#Terminal" class="headerlink" title="Terminal"></a>Terminal</h2><p><a href="https://ghostty.org/">Ghostty</a> is an feature-rich terminal emulator. Here is my configuration:</p><figure class="highlight plaintext"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br><span class="line">14</span><br><span class="line">15</span><br><span class="line">16</span><br><span class="line">17</span><br><span class="line">18</span><br><span class="line">19</span><br><span class="line">20</span><br><span class="line">21</span><br><span class="line">22</span><br><span class="line">23</span><br><span class="line">24</span><br><span class="line">25</span><br><span class="line">26</span><br><span class="line">27</span><br><span class="line">28</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">background-opacity = 0.8</span><br><span class="line">background-blur-radius = 50</span><br><span class="line">window-height = 22</span><br><span class="line">window-width = 74</span><br><span class="line">theme = flexoki-dark</span><br><span class="line">foreground = #dcdfe4</span><br><span class="line">selection-background = #474e5d</span><br><span class="line">selection-foreground = #dcdfe4</span><br><span class="line">cursor-color = #a3b3cc</span><br><span class="line">cursor-text = #dcdfe4</span><br><span class="line">cursor-style = bar</span><br><span class="line">palette = 0=#282c34</span><br><span class="line">palette = 1=#e06c75</span><br><span class="line">palette = 2=#98c379</span><br><span class="line">palette = 3=#e5c07b</span><br><span class="line">palette = 4=#61afef</span><br><span class="line">palette = 5=#c678dd</span><br><span class="line">palette = 6=#56b6c2</span><br><span class="line">palette = 7=#dcdfe4</span><br><span class="line">palette = 8=#282c34</span><br><span class="line">palette = 9=#e06c75</span><br><span class="line">palette = 10=#98c379</span><br><span class="line">palette = 11=#e5c07b</span><br><span class="line">palette = 12=#61afef</span><br><span class="line">palette = 13=#c678dd</span><br><span class="line">palette = 14=#56b6c2</span><br><span class="line">palette = 15=#dcdfe4</span><br><span class="line">window-step-resize = true</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>I use <a href="https://starship.rs/">Starship</a> as my terminal prompt. I didn’t customize it because it has a brilliant default configuration.</p><p>When everything in terminal is done, try <a href="https://github.com/fastfetch-cli/fastfetch">Fastfetch</a>, it’s showtime!</p><p><img src="/img/000059.webp" alt="A screenshot of the result of &#96;fastfetch&#96; in Ghostty"></p><h2 id="Quality-of-Life"><a href="#Quality-of-Life" class="headerlink" title="Quality of Life"></a>Quality of Life</h2><h3 id="AltTab"><a href="#AltTab" class="headerlink" title="AltTab"></a>AltTab</h3><p>If you’re from Windows, you will need <a href="https://alt-tab-macos.netlify.app/">AltTab</a>. It enables you to use <kbd>Option</kbd> + <kbd>Tab</kbd>, just like <kbd>Alt</kbd> + <kbd>Tab</kbd> on Windows.</p><p><img src="/img/000061.webp" alt="A screenshot of window switcher"></p><h3 id="Keka"><a href="#Keka" class="headerlink" title="Keka"></a>Keka</h3><p><a href="https://www.keka.io/">Keka</a>, perhaps the last archiver you’ll need, works with a wide range of formats and can be the replacement of the system archiver.</p><h2 id="Wrapping-Up"><a href="#Wrapping-Up" class="headerlink" title="Wrapping Up"></a>Wrapping Up</h2><p>Here are all the apps introduced, in one picture:</p><div class="container">  <img src="/img/000062.webp" style="max-width: 480px; display: block; margin: auto" /></div>]]>
    </content>
    <id>https://blog.mrwillcom.com/2025/08/18/Kickstarting-a-New-Mac/</id>
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    <published>2025-08-18T14:59:54.000Z</published>
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      <![CDATA[<p>Recently, I purchased a new MacBook Air. Since this is the second time that I set up a new Mac, I would like to share some useful, essent]]>
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    <title>Kickstarting a New Mac</title>
    <updated>2026-08-11T07:44:39.381Z</updated>
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    <author>
      <name>Mr. Will</name>
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    <content>
      <![CDATA[<p>I previously used <a href="https://forwardemail.net/">Forward Email</a> for my domain email. It could forward all emails sent to <code>*@mrwillcom.com</code> to my Outlook’s inbox. However, it did not allow me to use <code>*@mrwillcom.com</code> to send emails from or reply to messages.</p><p>After transferring my domain from <a href="https://www.namesilo.com/">Namesilo</a> + <a href="https://vercel.com/">Vercel</a> (as nameserver) to <a href="https://domains.cloudflare.com/">Cloudflare</a>, which reduced a small share of annual expense, I attempted to migrate to <a href="https://www.cloudflare.com/developer-platform/products/email-routing/">Cloudflare Email Routing</a>. While this also did not support sending emails, it offered a graph on its dashboard and a special feature — <a href="https://developers.cloudflare.com/email-routing/email-workers/">Email Workers</a>.</p><p><img src="/img/000049.webp" alt="A screenshot of the dashboard of Cloudflare Email Routing"></p><p>Although Cloudflare’s products appeared promising, I was determined to send emails. This led me to seek out <a href="https://www.spaceship.com/business-email/">Spacemail</a>, which stood out for its eye-catching pricing. The starter plan contained all the features I needed at a cost of only $4.95&#x2F;yr. I could hardly overlook this option.</p><p>By starting 30 day free trial, I have begun experiencing Spacemail. Spacemail has a clear web interface with essential functionalities built in, which is simple and responds fast.</p><div class="carousel">  <figure>    <img src="/img/000051.webp" alt="A screenshot of Spacemail web interface." class="carousel-item" />    <figcaption>Web interface.</figcaption>  </figure>  <figure>    <img src="/img/000052.webp" alt="IMAP, SMTP and POP3 access." class="carousel-item" />    <figcaption>IMAP, SMTP and POP3 access.</figcaption>  </figure>  <figure>    <img src="/img/000053.webp" alt="Email forwarding." class="carousel-item" />    <figcaption>Email forwarding.</figcaption>  </figure>  <figure>    <img src="/img/000054.webp" alt="A catch-all (fallback) mailbox." class="carousel-item" />    <figcaption>A catch-all (fallback) mailbox.</figcaption>  </figure></div><p>With IMAP, SMTP and POP3 access, I don’t have to stick to the web app. I now use <a href="https://support.apple.com/guide/mail/welcome/mac">Apple Mail</a> and <a href="https://www.thunderbird.net/">Thunderbird</a> for my domain email.</p><p>Welcome to send an email to <a href="mailto:&#x68;&#105;&#x40;&#x6d;&#114;&#119;&#105;&#108;&#108;&#x63;&#x6f;&#109;&#x2e;&#99;&#x6f;&#x6d;"><code>hi@mrwillcom.com</code></a>!</p>]]>
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    <id>https://blog.mrwillcom.com/2025/08/01/Refining-My-Domain-Email/</id>
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    <published>2025-08-01T12:22:08.000Z</published>
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      <![CDATA[<p>I previously used <a href="https://forwardemail.net/">Forward Email</a> for my domain email. It could forward all emails sent to <code>*@]]>
    </summary>
    <title>Refining My Domain Email</title>
    <updated>2026-08-11T07:44:39.381Z</updated>
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    <author>
      <name>Mr. Will</name>
    </author>
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    <category term="web-surfing" scheme="https://blog.mrwillcom.com/tags/web-surfing/"/>
    <content>
      <![CDATA[<p>本文的诞生离不开 <a href="https://blog.skk.moe/post/2024-browser-from-a-to-z/">Sukka 的《2024：浏览器从 A 到 Z》</a>：</p><blockquote><p>和大部分人使用浏览器书签或者导航类网站索引自己的常用网站不同，我强烈依赖基于浏览器地址栏自动补全来访问我常用的网站。那么，将 A-Z 逐一输入到 Google Chrome 的地址栏里，我的 Google Chrome 都会自动补全出哪些域名呢？</p></blockquote><h2 id="A-aka-mrwillcom-com"><a href="#A-aka-mrwillcom-com" class="headerlink" title="A - aka.mrwillcom.com"></a>A - <a href="https://aka.mrwillcom.com/">aka.mrwillcom.com</a></h2><p>用 <a href="https://hono.dev/">Hono</a> 写的超轻量短链接！而且以简陋的方式接入 <a href="https://upstash.com/">Upstash</a> 统计。之前有看到过 <a href="https://dub.co/">Dub</a> 这个短链接服务，设计很漂亮而且功能很全。结果还是手痒写了一个这么一个小玩意。</p><div class="container">  <iframe src="https://noc.social/@MrWillCom/113023597887437972/embed" class="mastodon-embed" style="max-width: 100%; border: 0" width="100%" allowfullscreen="allowfullscreen"></iframe><script src="https://noc.social/embed.js" async="async"></script></div><h2 id="B-www-bilibili-com"><a href="#B-www-bilibili-com" class="headerlink" title="B - www.bilibili.com"></a>B - <a href="https://www.bilibili.com/">www.bilibili.com</a></h2><p>哔哩哔哩。</p><h2 id="C-cloud-umami-is"><a href="#C-cloud-umami-is" class="headerlink" title="C - cloud.umami.is"></a>C - <a href="https://cloud.umami.is/">cloud.umami.is</a></h2><p><a href="https://umami.is/">Umami</a> 的官方实例。从 2024 年夏开始用的，免费用户的统计数据保留 6 个月，感觉够用了，只要每隔段时间手动导出一下数据就行。</p><h2 id="D-deepl-com"><a href="#D-deepl-com" class="headerlink" title="D - deepl.com"></a>D - <a href="https://deepl.com/">deepl.com</a></h2><p>DeepL 翻译器，号称“全世界最准确的翻译”，平常翻译点东西就用这个，不过现在开始用 LLM 来翻译了。</p><h2 id="E-epubit-com"><a href="#E-epubit-com" class="headerlink" title="E - epubit.com"></a>E - <a href="https://epubit.com/">epubit.com</a></h2><p>异步社区。啊？我记得我只是上去看一下书里的资源。</p><h2 id="F-formulae-brew-sh"><a href="#F-formulae-brew-sh" class="headerlink" title="F - formulae.brew.sh"></a>F - <a href="https://formulae.brew.sh/">formulae.brew.sh</a></h2><p>HomeBrew Formulae，在这里查 HomeBrew 的软件包。</p><h2 id="G-github-com"><a href="#G-github-com" class="headerlink" title="G - github.com"></a>G - <a href="https://github.com/">github.com</a></h2><p>GitHub，家喻户晓的代码托管平台，确实频繁访问。</p><h2 id="H-hellogithub-com"><a href="#H-hellogithub-com" class="headerlink" title="H - hellogithub.com"></a>H - <a href="https://hellogithub.com/">hellogithub.com</a></h2><p>HelloGitHub，“分享 GitHub 上有趣、入门级的开源项目”，每月 28 号的固定节目。</p><h2 id="I-www-itdog-cn-http"><a href="#I-www-itdog-cn-http" class="headerlink" title="I - www.itdog.cn/http/"></a>I - <a href="https://www.itdog.cn/http/">www.itdog.cn/http/</a></h2><p>测试站点在全国各地的连通性的工具。时不时会测一下自己站点的连通性，有时候网上冲浪时也会测测其它站点。（不过如果不开广告屏蔽器的话貌似广告铺天盖地。）</p><h2 id="J-jsr-io"><a href="#J-jsr-io" class="headerlink" title="J - jsr.io"></a>J - <a href="https://jsr.io/">jsr.io</a></h2><p>JSR, the JavaScript Registry. 我还是比较 old-school，并没有使用过 JSR。</p><h2 id="K-www-koukao-cn"><a href="#K-www-koukao-cn" class="headerlink" title="K - www.koukao.cn"></a>K - <a href="https://www.koukao.cn/">www.koukao.cn</a></h2><p>科大讯飞的英语听说教考平台。这玩意做得和真实考试的样子一模一样，个人感觉正式考试估计就是科大讯飞做的。像这种考试软件的质量自然是不用多说了。当你还在为布局费尽脑筋时，科大讯飞已经快人一步，使用了技能：「贴图」！</p><h2 id="L-localhost-4000"><a href="#L-localhost-4000" class="headerlink" title="L - localhost:4000"></a>L - <a href="http://localhost:4000/">localhost:4000</a></h2><p>嗯。<a href="https://hexo.io/zh-cn/">Hexo</a> 调试多了造成的，其实 <code>:3000</code> 也榜上有名。选择本地部署的实例端口时，我往往喜欢用实例名称的各个字母在键盘上的位置。比如说 <a href="https://freshrss.org/">FreshRSS</a> 就取前五个字母，“ASD<mark>F</mark>” 就是 4，“QWE<mark>R</mark>”也是 4，以此类推，所以它的端口号就是 <code>44326</code>。</p><h2 id="M-minform-io"><a href="#M-minform-io" class="headerlink" title="M - minform.io"></a>M - <a href="https://minform.io/">minform.io</a></h2><p>一个很干净简单的问卷平台。</p><h2 id="N-noc-social"><a href="#N-noc-social" class="headerlink" title="N - noc.social"></a>N - <a href="https://noc.social/">noc.social</a></h2><p>我所在的 Mastodon 实例，快关注我：<a href="https://noc.social/@MrWillCom"><code>@MrWillCom@noc.social</code></a>！</p><h2 id="O-oasis-decart-ai"><a href="#O-oasis-decart-ai" class="headerlink" title="O - oasis.decart.ai"></a>O - <a href="http://oasis.decart.ai/">oasis.decart.ai</a></h2><p>Minecraft，但是 AI 生成。游玩 Oasis 可以充分地体验 AI 生图的常见问题，体验蛮新奇的，也可以用一些 tricks 骗 AI。</p><h2 id="P-phanpy-mrwillcom-com"><a href="#P-phanpy-mrwillcom-com" class="headerlink" title="P - phanpy.mrwillcom.com"></a>P - <a href="https://phanpy.mrwillcom.com/">phanpy.mrwillcom.com</a></h2><p>我部署的 Phanpy 实例。<a href="https://github.com/cheeaun/phanpy">Phanpy</a> 是一个 Mastodon 客户端，相较于传统的社交媒体客户端，作者在这里面融入了一些好点子，比如说 Boosts Carousel、Thread number badge：</p><figure>  <img src="/img/000044.webp">  <figcaption>Boosts Carousel</figcaption></figure><figure>  <img src="/img/000045.webp">  <figcaption>Thread number badge</figcaption></figure><h2 id="Q-NaN"><a href="#Q-NaN" class="headerlink" title="Q - NaN"></a>Q - NaN</h2><p>怎么没有 Q 开头的网站啊？</p><h2 id="R-replay-music-apple-com"><a href="#R-replay-music-apple-com" class="headerlink" title="R - replay.music.apple.com"></a>R - <a href="https://replay.music.apple.com/">replay.music.apple.com</a></h2><p>Apple Music 音乐回忆。持续在 <a href="https://music.apple.com/">Apple Music</a> 上聆听就可以解锁每月和每年的音乐回忆，会统计包括曲目、艺人、播放列表排行的内容，还有里程碑。</p><h2 id="S-squoosh-app"><a href="#S-squoosh-app" class="headerlink" title="S - squoosh.app"></a>S - <a href="https://squoosh.app/">squoosh.app</a></h2><p><a href="https://github.com/GoogleChromeLabs">Google Chrome Team</a> 开源的一款图像压缩 Web 应用，首次加载后可以完全离线使用，支持多种压缩方法和图片格式，压缩比率可调。本站的一些图片就是用 Squoosh 压缩的。</p><h2 id="T-www-taobao-com"><a href="#T-www-taobao-com" class="headerlink" title="T - www.taobao.com"></a>T - <a href="https://www.taobao.com/">www.taobao.com</a></h2><p>中国大型在线购物网站。</p><h2 id="U-unsplash-com"><a href="#U-unsplash-com" class="headerlink" title="U - unsplash.com"></a>U - <a href="https://unsplash.com/">unsplash.com</a></h2><p>著名高质量照片共享平台。大概九十月份的时候在上面注册了账号，有些照片我会发在上面。注册之初，每天发照片的数量是有限制的，好像是 5 张还是 10 张，但是发过一两回且质量过关就会开放 100 张的限度。</p><h2 id="V-vercel-com"><a href="#V-vercel-com" class="headerlink" title="V - vercel.com"></a>V - <a href="https://vercel.com/">vercel.com</a></h2><p>细想一下发现我的所有站点都部署在 Vercel 上。Vercel 很可靠，免费额度对我来说也非常够用。</p><h2 id="W-Many-www-s"><a href="#W-Many-www-s" class="headerlink" title="W - Many www.*s"></a>W - Many <code>www.*</code>s</h2><p>输入 W 的时候太多以 <code>www.</code> 开头的网站了。</p><h2 id="X-xlog-app"><a href="#X-xlog-app" class="headerlink" title="X - xlog.app"></a>X - <a href="https://xlog.app/">xlog.app</a></h2><p>一个基于区块链技术的去中心化博客平台。有一些文章我会<a href="https://mrwillcom.xlog.app/">镜像上去</a>。</p><h2 id="Y-ys-mihoyo-com"><a href="#Y-ys-mihoyo-com" class="headerlink" title="Y - ys.mihoyo.com"></a>Y - <a href="https://ys.mihoyo.com/">ys.mihoyo.com</a></h2><p>原神，启动！但是由于平常上学空闲时间不多，现在更常玩的是《崩坏：星穹铁道》。</p><h2 id="Z-zp-shec-edu-cn"><a href="#Z-zp-shec-edu-cn" class="headerlink" title="Z - zp.shec.edu.cn"></a>Z - <a href="https://zp.shec.edu.cn/">zp.shec.edu.cn</a></h2><p>上海学生综评。上海学生特有的一个网站，相比起其它政府网站，这个做得算不错的👍。</p><hr><p>至于为什么突然想到写“浏览器 A - Z”，那当然是年度总结还没写完咯。从这些浏览器建议里，还是能看出我这一年网上冲浪的太少，有些几乎没怎么访问过的网站排行竟这么高。</p>]]>
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    <published>2025-03-04T13:27:47.000Z</published>
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      <![CDATA[<p>本文的诞生离不开 <a href="https://blog.skk.moe/post/2024-browser-from-a-to-z/">Sukka 的《2024：浏览器从 A 到 Z》</a>：</p>
<blockquote>
<p>和大部分人使用浏览器书签或者导航]]>
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    <title>2024：浏览器从 A 到 Z</title>
    <updated>2026-08-11T07:44:39.381Z</updated>
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    <category term="printing" scheme="https://blog.mrwillcom.com/tags/printing/"/>
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      <![CDATA[<p>上海高中每年秋天都会有明信片互寄的活动<del>，同学们只需要写好明信片投进相应的小箱子里就行了，而外联部要考虑的就多了</del>。很多社团还有少数个人会在这时候卖明信片。大家会在大群里发问卷和收款码，以一种高度文明的方式做生意。前年看到后，就决定第二年自己也整点。于是去年十月份整理了一些喜欢的照片，做成了明信片。</p><p><img src="/img/000037.webp" alt="去年的五套明信片"></p><p>这属于是我第一次以实体的形式输出照片。把自己的明信片寄给别人的感觉真的很不错。😋</p><p>后来在 b 站上刷到<a href="https://space.bilibili.com/405561962">旅行摄影师唐僧</a>的<a href="https://www.bilibili.com/video/BV1Ut4y1d77t/">【硬核】怎样打印完美巨幅摄影作品？控色、装裱实战详解！| VLOG-90</a>，感觉非常值得一试。视频讲得很具体详细，涵盖了从前期的校色到最后一步装裱上墙的全过程。</p><h2 id="拍摄"><a href="#拍摄" class="headerlink" title="拍摄"></a>拍摄</h2><p>三月底，是樱花盛开的时节。同时，那几天里天气也非常乐观，下午时间的拍摄条件很不错。天空湛蓝，加上比较强烈的阳光完全照亮樱花的每一片花瓣，显得画面纯净而明快。</p><p><del>根据佳能屏幕的调色思路，</del>为了逆转逆光并且大幅度提高亮度，还有表现那种漂亮的蓝色，这次调色算是把能拖动的滑块都拖了一遍，效果非常显著啊！</p><p><img src="/img/000038.webp" alt="调色参数一览"></p><p>成片如下：</p><div class="container">  <iframe src="https://noc.social/@MrWillCom/112500761894494376/embed" class="mastodon-embed" style="max-width: 100%; border: 0" width="100%" allowfullscreen="allowfullscreen"></iframe><script src="https://noc.social/embed.js" async="async"></script></div><h2 id="选片和设计布局"><a href="#选片和设计布局" class="headerlink" title="选片和设计布局"></a>选片和设计布局</h2><p>考虑一番后，从十几张图里选出了准备打印的一张。又在反复的斟酌之后，最终选定了 18 寸的纸张大小，四边各空出 ¹⁄₁₂ 的边距，居中画面的方案。微喷打印服务选择了 PaperTravel，纸张是 FANTAC 的 315g 纯棉艺术纸，费用是 ¥ 62。</p><p>另外，要是担心表述不清楚的话，最为稳妥的办法是做一张尺寸参考图。我把参考图随要打印的照片一起发给了 PaperTravel。</p><div class="block-large">  <img src="/img/000039.webp" alt="尺寸参考"></div><h2 id="装裱和上墙"><a href="#装裱和上墙" class="headerlink" title="装裱和上墙"></a>装裱和上墙</h2><p>装裱用的相框是宜家 40cm × 50cm 的 <a href="https://detail.tmall.com/item.htm?id=772160511274">RODALM 略达姆画框</a>。下单的时候没注意包装内容，收到时发现附赠了卡纸，而且开窗尺寸又刚刚好，所以当天就直接装裱好了。</p><p><img src="/img/000040.webp" alt="装裱效果（第 1 张）"></p><p><img src="/img/000041.webp" alt="装裱效果（第 2 张）"></p><p><img src="/img/000042.webp" alt="装裱效果（第 3 张）"></p><figure>  <img src="/img/000043.webp">  <figcaption>上墙效果，镜面反光做过后期处理，画质有所下降。</figcaption></figure><h2 id="尾声"><a href="#尾声" class="headerlink" title="尾声"></a>尾声</h2><p>把喜欢的作品从屏幕带到现实，才算是完成了一次完整的创作。在数码时代，照片从被拍下到完成后期，就差不多算结束了，或许还会发到社交媒体上。但这样的话，照片就始终未能脱离屏幕这一载体。只有当照片被打印出来的时候，才终于从现实回到了现实，影像才从漂泊无定的屏幕落在了静态的纸张上，优秀的纸张素质和色彩表现力使那一刻的光长久地凝固于此。</p><p>好东西值得分享，之前的明信片是在学校小范围售卖了一波。这次的微喷的作品我也正在考虑要不要开放售卖，感兴趣的话请填填下方的问卷吧！</p><div class="container">  <div data-mf-id="9knL0fr" data-mf-title="微喷卖不卖" data-mf-auto-resize style="width:100%; height:785px;"></div><script src="https://minform.io/embed.js"></script></div><style>.post > .content {  font-size: 17px;  --radius-medium: 6px;}</style>]]>
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    <id>https://blog.mrwillcom.com/2024/10/03/DAC-Giclee-Photography-Output/</id>
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    <published>2024-10-03T04:00:00.000Z</published>
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      <![CDATA[<p>上海高中每年秋天都会有明信片互寄的活动<del>，同学们只需要写好明信片投进相应的小箱子里就行了，而外联部要考虑的就多了</del>。很多社团还有少数个人会在这时候卖明信片。大家会在大群里发问卷和收款码，以一种高度文明的方式做生意。前年看到后，就决定第二年自己也整点。于是去]]>
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    <title>数模转换：微喷打印影像输出！</title>
    <updated>2026-08-11T07:44:39.381Z</updated>
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    <author>
      <name>Mr. Will</name>
    </author>
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    <category term="math" scheme="https://blog.mrwillcom.com/tags/math/"/>
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      <![CDATA[<p>数学爱好者总是喜欢称赞数学严谨的特点，但实际上，数学的严谨往往取决于使用它的人，而非数学本身。如果你没有学习过数学的某些概念，那么你初次遇见相关的表达时往往很难看懂。这样的现象可以证明数学没有统一的定义和语法，这些全部都是由创造某些概念的数学家按照自己的喜好定义出来的。接下来，我会举几个例子来让你体会一下这种混乱。</p><h2 id="无规则命名"><a href="#无规则命名" class="headerlink" title="无规则命名"></a>无规则命名</h2><p>同样是函数，三角函数可以有三个字母，但是别的大多数不行。在书写的时候，多字母的函数或是其他符号会产生歧义，而数学将其解释为“约定俗成”。</p><p>绝大部分人没法直接用手写出衬线字体，书写时，“<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.778ex" height="1.511ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -657 1228 668"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\sin"><g data-mml-node="mi" data-latex="\sin"><path data-c="73" d="M360 130C360 206 308 254 205 274C158 283 128 294 112 305C96 316 88 332 88 351C88 398 123 421 193 421C261 421 298 383 303 306C304 298 309 294 319 294C330 294 336 303 336 321L336 420C336 439 331 448 321 448C310 448 295 430 285 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285 194 328C194 381 244 413 300 413C342 413 369 400 382 375C360 371 337 352 337 327C337 306 348 295 371 295C402 295 420 323 420 354Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="i" transform="translate(469,0)"><path data-c="1D456" d="M284 621C284 648 271 661 244 661C216 661 188 633 188 605C188 578 202 565 229 565C257 565 284 593 284 621M259 138C237 59 205 19 164 19C151 19 144 28 144 47C144 64 173 150 232 306C240 329 244 347 244 360C244 409 210 445 161 445C118 445 84 420 59 369C39 328 29 301 29 288C29 279 34 275 45 275C58 275 60 281 64 295C87 375 118 415 158 415C171 415 178 406 178 387C178 373 175 357 168 338C145 275 121 208 101 155C86 115 78 88 78 74C78 25 114-11 162-11C205-11 239 14 264 64C283 103 293 130 293 145C293 154 288 159 277 159C274 159 259 150 259 138Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="n" transform="translate(814,0)"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18C427 18 420 28 420 47C420 61 426 84 438 115C478 224 498 296 498 333C498 403 451 442 381 442C322 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data-latex="\sin"><path data-c="73" d="M360 130C360 206 308 254 205 274C158 283 128 294 112 305C96 316 88 332 88 351C88 398 123 421 193 421C261 421 298 383 303 306C304 298 309 294 319 294C330 294 336 303 336 321L336 420C336 439 331 448 321 448C310 448 295 430 285 422C260 439 229 448 193 448C104 448 33 408 33 323C33 289 47 260 76 237C111 208 144 202 207 191C272 178 305 149 305 104C305 47 270 18 199 18C130 18 86 64 67 155C64 168 59 175 50 175C39 175 33 165 33 146L33 17C33-2 38-11 48-11C51-11 56-8 64-1C82 15 74 12 92 30C121 3 157-11 199-11C294-11 360 38 360 130Z"></path><path data-c="69" d="M194 601C194 631 169 657 139 657C109 657 83 631 83 601C83 571 108 544 138 544C169 544 194 570 194 601M143 3L247 0L247 39C214 39 194 41 188 45C182 49 180 60 180 78L180 445L37 433L37 395C70 395 91 392 98 387C105 382 108 368 108 345L108 79C108 60 105 48 98 44C91 40 69 39 33 39L33 0Z" transform="translate(394,0)"></path><path data-c="6E" d="M314 413C359 413 382 378 382 307L382 79C382 60 379 48 372 44C365 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188 285 181 302 173C323 164 333 147 333 123C333 105 325 85 308 62C287 33 250 18 197 18C143 18 108 33 92 62C124 61 151 87 151 119C151 144 138 157 111 157C75 157 52 124 52 88C52 22 124-11 196-11C271-11 325 11 357 56C384 93 397 126 397 156C397 199 376 231 335 252C304 263 280 270 265 273C230 282 194 285 194 328C194 381 244 413 300 413C342 413 369 400 382 375C360 371 337 352 337 327C337 306 348 295 371 295C402 295 420 323 420 354Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="3"> </mjx-break><svg style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.912ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 845.2 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="s \cdot i \cdot n"><g data-mml-node="mo" data-latex="\cdot"><path data-c="22C5" d="M192 250C192 279 168 303 139 303C110 303 86 279 86 250C86 221 110 197 139 197C168 197 192 221 192 250Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="i" transform="translate(500.2,0)"><path data-c="1D456" d="M284 621C284 648 271 661 244 661C216 661 188 633 188 605C188 578 202 565 229 565C257 565 284 593 284 621M259 138C237 59 205 19 164 19C151 19 144 28 144 47C144 64 173 150 232 306C240 329 244 347 244 360C244 409 210 445 161 445C118 445 84 420 59 369C39 328 29 301 29 288C29 279 34 275 45 275C58 275 60 281 64 295C87 375 118 415 158 415C171 415 178 406 178 387C178 373 175 357 168 338C145 275 121 208 101 155C86 115 78 88 78 74C78 25 114-11 162-11C205-11 239 14 264 64C283 103 293 130 293 145C293 154 288 159 277 159C274 159 259 150 259 138Z"></path></g></g></g></svg><mjx-break size="3"> </mjx-break><svg style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.489ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1100.2 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="s \cdot i \cdot n"><g data-mml-node="mo" data-latex="\cdot"><path data-c="22C5" d="M192 250C192 279 168 303 139 303C110 303 86 279 86 250C86 221 110 197 139 197C168 197 192 221 192 250Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="n" transform="translate(500.2,0)"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18C427 18 420 28 420 47C420 61 426 84 438 115C478 224 498 296 498 333C498 403 451 442 381 442C322 442 271 416 230 363C222 407 187 442 136 442C80 442 58 390 44 345C34 313 29 294 29 287C29 278 34 273 45 273C50 273 53 274 56 276C61 285 64 292 65 299C83 375 106 413 133 413C151 413 160 399 160 371C160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19C78-1 89-11 111-11C130-11 144-1 151 19C153 24 159 49 170 92L191 181L221 295C232 318 249 341 270 365C299 397 335 413 378 413C411 413 427 391 427 348C427 310 406 234 363 120C356 102 353 87 353 74C353 25 390-11 438-11C482-11 517 14 542 64C561 104 571 131 571 144C571 153 566 158 555 158C552 158 537 149 537 137Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container>。当然，我们也可以定义一些函数，比如 <mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.52ex" height="1.511ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -657 672 668"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\rm{si}"><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="\rm{si}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi" data-latex="s"><path data-c="73" d="M360 130C360 206 308 254 205 274C158 283 128 294 112 305C96 316 88 332 88 351C88 398 123 421 193 421C261 421 298 383 303 306C304 298 309 294 319 294C330 294 336 303 336 321L336 420C336 439 331 448 321 448C310 448 295 430 285 422C260 439 229 448 193 448C104 448 33 408 33 323C33 289 47 260 76 237C111 208 144 202 207 191C272 178 305 149 305 104C305 47 270 18 199 18C130 18 86 64 67 155C64 168 59 175 50 175C39 175 33 165 33 146L33 17C33-2 38-11 48-11C51-11 56-8 64-1C82 15 74 12 92 30C121 3 157-11 199-11C294-11 360 38 360 130Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="i" transform="translate(394,0)"><path data-c="69" d="M194 601C194 631 169 657 139 657C109 657 83 631 83 601C83 571 108 544 138 544C169 544 194 570 194 601M143 3L247 0L247 39C214 39 194 41 188 45C182 49 180 60 180 78L180 445L37 433L37 395C70 395 91 392 98 387C105 382 108 368 108 345L108 79C108 60 105 48 98 44C91 40 69 39 33 39L33 0Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> 和 <mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: 0;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.887ex" height="1.486ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -657 834 657"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\rm{in}"><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="\rm{in}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi" data-latex="i"><path data-c="69" d="M194 601C194 631 169 657 139 657C109 657 83 631 83 601C83 571 108 544 138 544C169 544 194 570 194 601M143 3L247 0L247 39C214 39 194 41 188 45C182 49 180 60 180 78L180 445L37 433L37 395C70 395 91 392 98 387C105 382 108 368 108 345L108 79C108 60 105 48 98 44C91 40 69 39 33 39L33 0Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="n" transform="translate(278,0)"><path data-c="6E" d="M314 413C359 413 382 378 382 307L382 79C382 60 379 48 372 44C365 40 343 38 306 38L306 0L421 3L535 0L535 38C503 38 482 39 472 42C462 45 458 52 458 64L458 251C458 298 457 331 454 350C444 411 399 442 320 442C257 442 210 412 179 352L179 442L32 431L32 393C68 393 90 390 98 384C106 378 109 365 109 342L109 79C109 60 105 48 98 44C91 40 69 38 32 38L32 0L147 3L261 0L261 38C224 38 203 40 196 44C189 48 185 60 185 79L185 259C185 340 236 413 314 413Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container>，那么 <mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.778ex" height="1.511ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -657 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作为正切，<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.016ex" height="1.416ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -615 1333 626"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\cot"><g data-mml-node="mi" data-latex="\cot"><path data-c="63" d="M251 416C293 416 325 406 347 386C323 383 306 361 306 338C306 305 322 289 355 289C388 289 404 306 404 339C404 410 327 448 250 448C188 448 137 426 96 380C55 334 34 279 34 216C34 155 55 101 96 56C137 11 187-11 248-11C298-11 337 3 365 32C388 55 403 78 411 102C414 111 415 117 415 121C415 130 409 134 398 134C390 134 385 130 382 122C361 55 320 21 257 21C228 21 200 34 172 61C139 92 123 144 123 218C123 318 161 416 251 416Z"></path><path data-c="6F" d="M249-11C311-11 363 11 406 55C449 99 471 152 471 214C471 277 450 332 408 378C366 424 313 448 250 448C187 448 135 424 92 378C49 332 28 277 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data-mml-node="mi" data-latex="c"><path data-c="63" d="M251 416C293 416 325 406 347 386C323 383 306 361 306 338C306 305 322 289 355 289C388 289 404 306 404 339C404 410 327 448 250 448C188 448 137 426 96 380C55 334 34 279 34 216C34 155 55 101 96 56C137 11 187-11 248-11C298-11 337 3 365 32C388 55 403 78 411 102C414 111 415 117 415 121C415 130 409 134 398 134C390 134 385 130 382 122C361 55 320 21 257 21C228 21 200 34 172 61C139 92 123 144 123 218C123 318 161 416 251 416Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="o" transform="translate(444,0)"><path data-c="6F" d="M249-11C311-11 363 11 406 55C449 99 471 152 471 214C471 277 450 332 408 378C366 424 313 448 250 448C187 448 135 424 92 378C49 332 28 277 28 214C28 152 49 99 92 55C135 11 188-11 249-11M250 21C202 21 166 42 141 85C125 113 117 159 117 222C117 283 125 327 140 355C164 398 200 419 249 419C296 419 332 398 357 357C374 329 382 284 382 222C382 106 348 21 250 21Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container>”并去除末两位字母命名的时候重名了就可以直接随便取一个全新的名字咯？</p><h2 id="含糊不清的语法"><a href="#含糊不清的语法" class="headerlink" title="含糊不清的语法"></a>含糊不清的语法</h2><p>数学家很喜欢创造语法，但是他们似乎想不出很多漂亮的语法和符号，所以相同的符号放在类似的地方所表示的意义需要通过上下文来推测，下面是一个例子：</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true"><svg style="vertical-align: -0.561ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="11.947ex" height="2.253ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -748 5280.4 996"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="f(x)(m + 1)"><g data-mml-node="mi" data-latex="f"><path data-c="1D453" d="M552 633C552 677 509 705 462 705C400 705 357 665 334 586C329 568 318 517 302 433L237 433C215 433 204 432 204 411C204 400 214 395 235 395L295 395L222 8C211-49 201-91 192-119C180-156 163-175 141-175C126-175 114-171 103-164C135-159 151-140 151-108C151-82 138-69 111-69C77-69 53-99 53-133C53-177 94-205 141-205C166-205 189-195 208-174C240-141 265-94 283-31C294 8 304 46 311 84L369 395L451 395C474 395 484 396 484 419C484 428 474 433 454 433L377 433C383 474 411 625 420 644C430 665 444 675 462 675C477 675 490 671 501 664C470 657 454 639 454 608C454 582 467 569 494 569C528 569 552 599 552 633Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" transform="translate(552,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234C332-231 330-227 327-223C275-183 233-117 202-26C175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526C233 617 275 683 327 723C330 726 332 730 332 734C332 743 327 748 318 748C317 748 314 747 311 745C251 699 201 631 160 540C121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40C201-131 251-199 311-245C314-247 317-248 318-248Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="x" transform="translate(941,0)"><path data-c="1D465" d="M527 373C527 419 482 442 432 442C389 442 355 419 329 373C308 419 273 442 222 442C173 442 133 419 101 374C74 335 60 306 60 287C60 278 65 273 75 273C84 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data-mml-node="mo" data-latex="(" transform="translate(1902,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234C332-231 330-227 327-223C275-183 233-117 202-26C175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526C233 617 275 683 327 723C330 726 332 730 332 734C332 743 327 748 318 748C317 748 314 747 311 745C251 699 201 631 160 540C121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40C201-131 251-199 311-245C314-247 317-248 318-248Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="m" transform="translate(2291,0)"><path data-c="1D45A" d="M657 442C596 442 543 412 498 353C489 412 451 442 383 442C324 442 273 416 231 363C223 407 188 442 137 442C96 442 66 409 45 344C34 312 29 293 29 287C29 278 34 273 45 273C50 273 53 274 56 276C61 285 64 292 66 299C84 375 107 413 134 413C152 413 161 399 161 371C161 358 156 331 145 290L88 63C84 51 79 25 79 19C79-1 90-11 111-11C131-11 145-1 152 19C153 24 160 49 171 92L192 181L222 295C233 318 250 341 272 365C301 397 337 413 380 413C413 413 429 391 429 348C429 335 424 308 414 267L387 153C380 124 364 64 356 32C355 25 354 21 354 19C354-1 365-11 387-11C398-11 406-8 413-1C428 14 429 21 435 48L494 285C497 298 511 321 535 353C565 393 605 413 654 413C687 413 703 391 703 348C703 309 683 236 642 129C633 106 629 87 629 74C629 25 666-11 714-11C759-11 793 14 818 64C838 104 848 131 848 144C848 153 843 158 832 158C825 157 818 148 813 137C791 58 759 18 716 18C703 18 696 28 696 47C696 62 702 84 714 115C755 222 775 295 775 333C775 404 728 442 657 442Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="+" transform="translate(3391.2,0)"><path data-c="2B" d="M698 274L413 274L413 559C413 575 405 583 389 583C373 583 365 575 365 559L365 274L80 274C64 274 56 266 56 250C56 234 64 226 80 226L365 226L365-59C365-75 373-83 389-83C405-83 413-75 413-59L413 226L698 226C714 226 722 234 722 250C722 263 711 274 698 274Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="1" transform="translate(4391.4,0)"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47C195 42 170 39 130 39L95 39L95 0C120 2 174 3 257 3C340 3 394 2 419 0L419 39L384 39C343 39 318 42 310 47C302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex=")" transform="translate(4891.4,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40C268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540C188 631 138 699 78 745C75 747 72 748 71 748C62 748 57 743 57 734C57 730 59 726 62 723C114 683 156 617 187 526C214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26C156-117 114-183 62-223C59-227 57-231 57-234C57-243 62-248 71-248C72-248 75-247 78-245Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></p><p>如果不知道 <mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.464ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.249ex" height="2.059ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 552 910"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="f"><g data-mml-node="mi" data-latex="f"><path data-c="1D453" d="M552 633C552 677 509 705 462 705C400 705 357 665 334 586C329 568 318 517 302 433L237 433C215 433 204 432 204 411C204 400 214 395 235 395L295 395L222 8C211-49 201-91 192-119C180-156 163-175 141-175C126-175 114-171 103-164C135-159 151-140 151-108C151-82 138-69 111-69C77-69 53-99 53-133C53-177 94-205 141-205C166-205 189-195 208-174C240-141 265-94 283-31C294 8 304 46 311 84L369 395L451 395C474 395 484 396 484 419C484 428 474 433 454 433L377 433C383 474 411 625 420 644C430 665 444 675 462 675C477 675 490 671 501 664C470 657 454 639 454 608C454 582 467 569 494 569C528 569 552 599 552 633Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的定义，那么你只能知道这是一个函数，但不知道它的返回值类型，而在数学里，貌似是允许函数返回函数的，比如这样：</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true"><svg style="vertical-align: -0.561ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="11.454ex" height="2.253ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -748 5062.6 996"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="f(x) = g(x)"><g data-mml-node="mi" data-latex="f"><path data-c="1D453" d="M552 633C552 677 509 705 462 705C400 705 357 665 334 586C329 568 318 517 302 433L237 433C215 433 204 432 204 411C204 400 214 395 235 395L295 395L222 8C211-49 201-91 192-119C180-156 163-175 141-175C126-175 114-171 103-164C135-159 151-140 151-108C151-82 138-69 111-69C77-69 53-99 53-133C53-177 94-205 141-205C166-205 189-195 208-174C240-141 265-94 283-31C294 8 304 46 311 84L369 395L451 395C474 395 484 396 484 419C484 428 474 433 454 433L377 433C383 474 411 625 420 644C430 665 444 675 462 675C477 675 490 671 501 664C470 657 454 639 454 608C454 582 467 569 494 569C528 569 552 599 552 633Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" transform="translate(552,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234C332-231 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111-69C77-69 53-99 53-133C53-177 94-205 141-205C166-205 189-195 208-174C240-141 265-94 283-31C294 8 304 46 311 84L369 395L451 395C474 395 484 396 484 419C484 428 474 433 454 433L377 433C383 474 411 625 420 644C430 665 444 675 462 675C477 675 490 671 501 664C470 657 454 639 454 608C454 582 467 569 494 569C528 569 552 599 552 633Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的返回值定义为函数 <mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.464ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.079ex" height="1.464ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 477 647"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="g"><g data-mml-node="mi" data-latex="g"><path data-c="1D454" d="M15-141C15-184 60-205 150-205C197-205 241-193 280-170C324-144 351-109 362-66L471 373C473 383 474 389 474 392C474 412 463 422 442 422C420 422 406 410 399 387C377 424 347 442 310 442C246 442 189 410 140 346C95 286 72 223 72 158C72 71 123-3 207-3C246-3 282 14 315 47L285-71C256-140 211-175 148-175C122-175 100-173 82-169C103-158 113-141 113-118C113-93 99-80 72-80C40-80 15-109 15-141M356 392C376 371 386 351 386 331C386 330 385 325 383 318L336 129C330 106 313 82 286 60C259 38 233 27 210 27C170 27 150 56 150 114C150 169 184 291 204 327C235 384 270 412 311 412C329 412 344 405 356 392Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container>。所以我们可以得出：</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true"><svg style="vertical-align: -0.561ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="40.411ex" height="2.253ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -748 17861.4 996"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="f(x)(m + 1) = (f(x))(m + 1) = g(m + 1)"><g data-mml-node="mi" data-latex="f"><path data-c="1D453" d="M552 633C552 677 509 705 462 705C400 705 357 665 334 586C329 568 318 517 302 433L237 433C215 433 204 432 204 411C204 400 214 395 235 395L295 395L222 8C211-49 201-91 192-119C180-156 163-175 141-175C126-175 114-171 103-164C135-159 151-140 151-108C151-82 138-69 111-69C77-69 53-99 53-133C53-177 94-205 141-205C166-205 189-195 208-174C240-141 265-94 283-31C294 8 304 46 311 84L369 395L451 395C474 395 484 396 484 419C484 428 474 433 454 433L377 433C383 474 411 625 420 644C430 665 444 675 462 675C477 675 490 671 501 664C470 657 454 639 454 608C454 582 467 569 494 569C528 569 552 599 552 633Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" transform="translate(552,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234C332-231 330-227 327-223C275-183 233-117 202-26C175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526C233 617 275 683 327 723C330 726 332 730 332 734C332 743 327 748 318 748C317 748 314 747 311 745C251 699 201 631 160 540C121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40C201-131 251-199 311-245C314-247 317-248 318-248Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="x" transform="translate(941,0)"><path data-c="1D465" d="M527 373C527 419 482 442 432 442C389 442 355 419 329 373C308 419 273 442 222 442C173 442 133 419 101 374C74 335 60 306 60 287C60 278 65 273 75 273C84 273 90 278 92 287C111 345 153 413 220 413C253 413 269 392 269 351C269 330 251 252 216 118C199 51 169 18 126 18C112 18 99 21 88 26C114 36 127 54 127 80C127 106 114 119 87 119C54 119 29 91 29 58C29 12 76-11 125-11C167-11 201 12 228 58C247 12 283-11 335-11C383-11 423 12 455 57C482 96 496 125 496 144C496 153 491 158 481 158C472 158 467 153 464 144C447 87 402 18 337 18C304 18 287 38 287 79C287 92 292 120 303 165L337 300C356 375 387 413 431 413C445 413 458 410 469 405C442 396 429 378 429 351C429 325 443 312 470 312C502 312 527 341 527 373Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex=")" transform="translate(1513,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40C268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540C188 631 138 699 78 745C75 747 72 748 71 748C62 748 57 743 57 734C57 730 59 726 62 723C114 683 156 617 187 526C214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26C156-117 114-183 62-223C59-227 57-231 57-234C57-243 62-248 71-248C72-248 75-247 78-245Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" transform="translate(1902,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234C332-231 330-227 327-223C275-183 233-117 202-26C175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526C233 617 275 683 327 723C330 726 332 730 332 734C332 743 327 748 318 748C317 748 314 747 311 745C251 699 201 631 160 540C121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40C201-131 251-199 311-245C314-247 317-248 318-248Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="m" transform="translate(2291,0)"><path data-c="1D45A" d="M657 442C596 442 543 412 498 353C489 412 451 442 383 442C324 442 273 416 231 363C223 407 188 442 137 442C96 442 66 409 45 344C34 312 29 293 29 287C29 278 34 273 45 273C50 273 53 274 56 276C61 285 64 292 66 299C84 375 107 413 134 413C152 413 161 399 161 371C161 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xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.133ex" height="2.253ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -748 1827 996"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="g(x)"><g data-mml-node="mi" data-latex="g"><path data-c="1D454" d="M15-141C15-184 60-205 150-205C197-205 241-193 280-170C324-144 351-109 362-66L471 373C473 383 474 389 474 392C474 412 463 422 442 422C420 422 406 410 399 387C377 424 347 442 310 442C246 442 189 410 140 346C95 286 72 223 72 158C72 71 123-3 207-3C246-3 282 14 315 47L285-71C256-140 211-175 148-175C122-175 100-173 82-169C103-158 113-141 113-118C113-93 99-80 72-80C40-80 15-109 15-141M356 392C376 371 386 351 386 331C386 330 385 325 383 318L336 129C330 106 313 82 286 60C259 38 233 27 210 27C170 27 150 56 150 114C150 169 184 291 204 327C235 384 270 412 311 412C329 412 344 405 356 392Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" transform="translate(477,0)"><path data-c="28" 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data-latex="(" transform="translate(9238.4,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234C332-231 330-227 327-223C275-183 233-117 202-26C175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526C233 617 275 683 327 723C330 726 332 730 332 734C332 743 327 748 318 748C317 748 314 747 311 745C251 699 201 631 160 540C121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40C201-131 251-199 311-245C314-247 317-248 318-248Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="m" transform="translate(9627.4,0)"><path data-c="1D45A" d="M657 442C596 442 543 412 498 353C489 412 451 442 383 442C324 442 273 416 231 363C223 407 188 442 137 442C96 442 66 409 45 344C34 312 29 293 29 287C29 278 34 273 45 273C50 273 53 274 56 276C61 285 64 292 66 299C84 375 107 413 134 413C152 413 161 399 161 371C161 358 156 331 145 290L88 63C84 51 79 25 79 19C79-1 90-11 111-11C131-11 145-1 152 19C153 24 160 49 171 92L192 181L222 295C233 318 250 341 272 365C301 397 337 413 380 413C413 413 429 391 429 348C429 335 424 308 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82C217 64 213 52 204 47C195 42 170 39 130 39L95 39L95 0C120 2 174 3 257 3C340 3 394 2 419 0L419 39L384 39C343 39 318 42 310 47C302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex=")" transform="translate(12227.9,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40C268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540C188 631 138 699 78 745C75 747 72 748 71 748C62 748 57 743 57 734C57 730 59 726 62 723C114 683 156 617 187 526C214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26C156-117 114-183 62-223C59-227 57-231 57-234C57-243 62-248 71-248C72-248 75-247 78-245Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></p><p>这一例子不仅反映出数学家爱简写的坏习惯，而且说明数学中相同的符号、相同的语法具有多重含义。不是说简写不好，而是有歧义的简写没有杜绝造成简写的弊端充分显现。</p><h2 id="高度复用且极富歧义的符号"><a href="#高度复用且极富歧义的符号" class="headerlink" title="高度复用且极富歧义的符号"></a>高度复用且极富歧义的符号</h2><p>学过数列的朋友们都知道 <mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.607ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2036.3 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\{ a_n \}"><g data-mml-node="mo" data-latex="\{"><path data-c="7B" d="M286-122L286 126C286 183 251 225 182 250C251 275 286 317 286 374L286 622C286 680 348 718 409 718C420 718 425 723 425 734C425 745 420 750 409 750C363 750 321 740 284 721C237 697 214 664 214 622L214 374C214 311 154 266 91 266C80 266 75 261 75 250C75 239 80 234 91 234C155 234 214 188 214 126L214-122C214-164 237-197 284-221C321-240 363-250 409-250C420-250 425-245 425-234C425-223 420-218 409-218C348-218 286-180 286-122Z"></path></g><g data-mml-node="msub" data-latex="a_n" transform="translate(500,0)"><g data-mml-node="mi" data-latex="a"><path data-c="1D44E" d="M498 144C498 153 493 158 482 158C474 158 468 151 465 137C445 58 421 18 394 18C377 18 368 32 368 60C368 73 372 97 381 132L438 357C443 376 445 387 445 392C445 412 434 422 412 422C391 422 377 410 370 387C349 424 319 442 281 442C216 442 159 409 109 343C63 281 40 217 40 150C40 63 91-11 175-11C218-11 260 12 300 58C311 20 345-11 392-11C461-11 482 70 498 144M341 374C350 353 355 339 355 330C355 326 354 321 353 314L304 122C301 111 294 99 285 87C248 41 212 18 177 18C138 18 118 48 118 107C118 131 124 167 136 215C157 300 187 357 224 388C244 405 263 413 282 413C309 413 329 400 341 374Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(562,-150) scale(0.707)" data-latex="n"><path data-c="1D45B" d="M537 137C514 58 481 18 440 18C427 18 420 28 420 47C420 61 426 84 438 115C478 224 498 296 498 333C498 403 451 442 381 442C322 442 271 416 230 363C222 407 187 442 136 442C80 442 58 390 44 345C34 313 29 294 29 287C29 278 34 273 45 273C50 273 53 274 56 276C61 285 64 292 65 299C83 375 106 413 133 413C151 413 160 399 160 371C160 358 155 331 144 290L87 63C84 50 78 24 78 19C78-1 89-11 111-11C130-11 144-1 151 19C153 24 159 49 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xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="12.756ex" height="3.349ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1008.3 5638.2 1480.3"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="x \in \left( 0, 2\sqrt{2} \right)"><g data-mml-node="mi" data-latex="x"><path data-c="1D465" d="M527 373C527 419 482 442 432 442C389 442 355 419 329 373C308 419 273 442 222 442C173 442 133 419 101 374C74 335 60 306 60 287C60 278 65 273 75 273C84 273 90 278 92 287C111 345 153 413 220 413C253 413 269 392 269 351C269 330 251 252 216 118C199 51 169 18 126 18C112 18 99 21 88 26C114 36 127 54 127 80C127 106 114 119 87 119C54 119 29 91 29 58C29 12 76-11 125-11C167-11 201 12 228 58C247 12 283-11 335-11C383-11 423 12 455 57C482 96 496 125 496 144C496 153 491 158 481 158C472 158 467 153 464 144C447 87 402 18 337 18C304 18 287 38 287 79C287 92 292 120 303 165L337 300C356 375 387 413 431 413C445 413 458 410 469 405C442 396 429 378 429 351C429 325 443 312 470 312C502 312 527 341 527 373Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="\in" transform="translate(849.8,0)"><path data-c="2208" d="M563 4L373 4C310 4 254 25 208 68C162 111 136 163 130 226L563 226C579 226 587 234 587 250C587 266 579 274 563 274L130 274C136 337 162 389 208 432C254 475 310 496 373 496L563 496C579 496 587 504 587 519C587 535 579 543 563 543L373 543C292 543 223 515 166 458C109 401 81 332 81 250C81 168 109 99 166 42C223-15 292-43 373-43L563-43C579-43 587-35 587-19C587-7 576 4 563 4Z"></path></g><g data-mml-node="mrow" data-latex="\left( 0, 2\sqrt{2} \right)" transform="translate(1794.6,0)"><g data-mml-node="mo" data-latex="\left("><path data-c="28" d="M444-472C455-472 461-466 461-455C461-449 459-445 454-442C382-387 325-294 282-164C245-53 226 57 226 164L226 336C226 443 245 552 282 664C325 793 382 886 454 942C459 945 461 949 461 955C461 966 455 972 444 972C440 972 437 971 434 968C353 905 285 809 232 681C181 560 156 445 156 336L156 164C156 55 181-60 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449 470C449 588 357 666 237 666Z"></path></g><g data-mml-node="msqrt" data-latex="\sqrt{2}" transform="translate(1967.7,0)"><g data-mml-node="mo" transform="translate(0,860.5)"><path data-c="221A" d="M847-2C851 7 853 13 853 16C853 32 845 40 829 40C820 40 813 36 809 27C666-259 595-403 595-405L595-406C595-413 527-558 390-843L217-461C212-450 207-445 201-445C198-445 192-448 184-454L86-528C77-535 73-540 73-545C73-555 78-560 87-560C90-560 95-557 103-551L151-516L345-943C350-954 357-960 367-960C379-960 387-955 392-946Z"></path></g><g transform="translate(853,0)"><g data-mml-node="mn" data-latex="2"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612C69 576 50 534 50 483C50 449 75 424 106 424C136 424 161 450 161 480C161 513 137 536 105 536C102 536 100 536 98 535C117 584 161 627 224 627C306 627 352 556 352 470C352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0L450 180L417 180C409 129 402 100 396 91C391 86 361 84 306 84L139 84L236 179C304 243 390 312 419 365C439 400 449 435 449 470C449 588 357 666 237 666Z"></path></g></g><rect width="500" height="60" x="853" y="840.5"></rect></g><g data-mml-node="mo" data-latex="\right)" transform="translate(3320.7,0)"><path data-c="29" d="M89-468C170-405 238-310 291-181C342-60 367 55 367 164L367 336C367 445 342 560 291 681C238 810 170 905 89 968C85 971 82 972 79 972C68 972 62 966 62 955C62 950 64 945 68 942C140 887 198 795 241 664C278 552 297 443 297 336L297 164C297 57 278-52 241-164C198-295 140-387 68-442C64-445 62-450 62-455C62-466 68-472 79-472C82-472 86-471 89-468Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> 表示一个区间，但是如果我这样写：</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true"><svg style="vertical-align: -1.068ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="13.086ex" height="3.349ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1008.3 5784.2 1480.3"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\textbf{x} = \left( 0, 2\sqrt{2} \right)"><g data-mml-node="mtext" data-latex="\textbf{x}"><path data-c="1D431" d="M585 0L585 47L514 47L346 246L463 376C476 390 482 397 565 397L565 444L473 441L370 444L370 397C384 397 396 395 408 388C404 382 404 380 400 376L316 282L218 397L258 397L258 444L137 441L27 444L27 397L98 397L254 213L123 66C106 47 70 47 22 47L22 0L114 3L217 0L217 47C199 47 180 52 180 58C180 58 180 60 187 68L284 177L394 47L355 47L355 0L475 3Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="=" transform="translate(884.8,0)"><path data-c="3D" d="M698 367L80 367C64 367 56 359 56 344C56 329 64 321 80 321L698 321C714 321 722 329 722 344C722 356 711 367 698 367M698 179L80 179C64 179 56 171 56 156C56 141 64 133 80 133L698 133C714 133 722 141 722 156C722 169 711 179 698 179Z"></path></g><g data-mml-node="mrow" data-latex="\left( 0, 2\sqrt{2} \right)" transform="translate(1940.6,0)"><g data-mml-node="mo" data-latex="\left("><path data-c="28" d="M444-472C455-472 461-466 461-455C461-449 459-445 454-442C382-387 325-294 282-164C245-53 226 57 226 164L226 336C226 443 245 552 282 664C325 793 382 886 454 942C459 945 461 949 461 955C461 966 455 972 444 972C440 972 437 971 434 968C353 905 285 809 232 681C181 560 156 445 156 336L156 164C156 55 181-60 232-181C285-310 353-405 434-468C437-471 440-472 444-472Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="0" transform="translate(523,0)"><path data-c="30" d="M249-22C390-22 460 92 460 320C460 473 428 575 365 625C330 652 291 666 250 666C109 666 39 551 39 320C39 136 88-22 249-22M361 524C368 489 371 425 371 332C371 240 367 172 360 128C347 48 310 8 249 8C226 8 203 17 182 34C155 57 139 104 132 176C129 201 128 253 128 332C128 419 131 480 136 513C145 568 163 603 191 618C213 630 232 636 249 636C314 636 350 583 361 524Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="," transform="translate(1023,0)"><path data-c="2C" d="M139 106C107 106 86 82 86 50C86 20 109-5 139-5C153-5 165-1 174 8L175 0C175-63 154-117 112-160C105-168 101-174 101-178C101-188 105-193 114-193C123-193 135-181 152-158C186-110 203-57 203 0C203 53 185 106 139 106Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="2" transform="translate(1467.7,0)"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612C69 576 50 534 50 483C50 449 75 424 106 424C136 424 161 450 161 480C161 513 137 536 105 536C102 536 100 536 98 535C117 584 161 627 224 627C306 627 352 556 352 470C352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0L450 180L417 180C409 129 402 100 396 91C391 86 361 84 306 84L139 84L236 179C304 243 390 312 419 365C439 400 449 435 449 470C449 588 357 666 237 666Z"></path></g><g data-mml-node="msqrt" data-latex="\sqrt{2}" transform="translate(1967.7,0)"><g data-mml-node="mo" transform="translate(0,908.3)"><path data-c="221A" d="M847-2C851 7 853 13 853 16C853 32 845 40 829 40C820 40 813 36 809 27C666-259 595-403 595-405L595-406C595-413 527-558 390-843L217-461C212-450 207-445 201-445C198-445 192-448 184-454L86-528C77-535 73-540 73-545C73-555 78-560 87-560C90-560 95-557 103-551L151-516L345-943C350-954 357-960 367-960C379-960 387-955 392-946Z"></path></g><g transform="translate(853,0)"><g data-mml-node="mn" data-latex="2"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612C69 576 50 534 50 483C50 449 75 424 106 424C136 424 161 450 161 480C161 513 137 536 105 536C102 536 100 536 98 535C117 584 161 627 224 627C306 627 352 556 352 470C352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0L450 180L417 180C409 129 402 100 396 91C391 86 361 84 306 84L139 84L236 179C304 243 390 312 419 365C439 400 449 435 449 470C449 588 357 666 237 666Z"></path></g></g><rect width="500" height="60" x="853" y="888.3"></rect></g><g data-mml-node="mo" data-latex="\right)" transform="translate(3320.7,0)"><path data-c="29" d="M89-468C170-405 238-310 291-181C342-60 367 55 367 164L367 336C367 445 342 560 291 681C238 810 170 905 89 968C85 971 82 972 79 972C68 972 62 966 62 955C62 950 64 945 68 942C140 887 198 795 241 664C278 552 297 443 297 336L297 164C297 57 278-52 241-164C198-295 140-387 68-442C64-445 62-450 62-455C62-466 68-472 79-472C82-472 86-471 89-468Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container></p><p>这里 <mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: 0;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.373ex" height="1.005ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -444 607 444"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\textbf{x}"><g data-mml-node="mtext" data-latex="\textbf{x}"><path data-c="1D431" d="M585 0L585 47L514 47L346 246L463 376C476 390 482 397 565 397L565 444L473 441L370 444L370 397C384 397 396 395 408 388C404 382 404 380 400 376L316 282L218 397L258 397L258 444L137 441L27 444L27 397L98 397L254 213L123 66C106 47 70 47 22 47L22 0L114 3L217 0L217 47C199 47 180 52 180 58C180 58 180 60 187 68L284 177L394 47L355 47L355 0L475 3Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 是一个平面向量。幸好教科书保守地使用了“<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.342ex" height="1.919ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -837 593 848"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\vec{x}"><g data-mml-node="TeXAtom" data-latex="\vec{x}" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi" data-latex="x"><path data-c="1D465" d="M527 373C527 419 482 442 432 442C389 442 355 419 329 373C308 419 273 442 222 442C173 442 133 419 101 374C74 335 60 306 60 287C60 278 65 273 75 273C84 273 90 278 92 287C111 345 153 413 220 413C253 413 269 392 269 351C269 330 251 252 216 118C199 51 169 18 126 18C112 18 99 21 88 26C114 36 127 54 127 80C127 106 114 119 87 119C54 119 29 91 29 58C29 12 76-11 125-11C167-11 201 12 228 58C247 12 283-11 335-11C383-11 423 12 455 57C482 96 496 125 496 144C496 153 491 158 481 158C472 158 467 153 464 144C447 87 402 18 337 18C304 18 287 38 287 79C287 92 292 120 303 165L337 300C356 375 387 413 431 413C445 413 458 410 469 405C442 396 429 378 429 351C429 325 443 312 470 312C502 312 527 341 527 373Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(593,26)"><path data-c="20D7" d="M-69 599C-60 602-56 607-56 616C-56 625-60 630-69 633C-105 645-131 667-147 700C-150 707-156 711-163 711C-176 711-182 705-182 693C-182 678-169 658-143 634L-453 634C-466 634-472 628-472 616C-472 604-466 598-453 598L-143 598C-169 574-182 554-182 539C-182 527-176 521-163 521C-156 521-150 525-147 532C-131 565-105 587-69 599Z"></path></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>”，否则手写很难区分斜体和粗体的“x”。</p><p>事实上，如果不是我给出了“<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.097ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.509ex" height="1.326ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -543 667 586"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\in"><g data-mml-node="mo" data-latex="\in"><path data-c="2208" d="M563 4L373 4C310 4 254 25 208 68C162 111 136 163 130 226L563 226C579 226 587 234 587 250C587 266 579 274 563 274L130 274C136 337 162 389 208 432C254 475 310 496 373 496L563 496C579 496 587 504 587 519C587 535 579 543 563 543L373 543C292 543 223 515 166 458C109 401 81 332 81 250C81 168 109 99 166 42C223-15 292-43 373-43L563-43C579-43 587-35 587-19C587-7 576 4 563 4Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container>”和“<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: 0.301ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.76ex" height="0.529ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -367 778 234"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="="><g data-mml-node="mo" data-latex="="><path data-c="3D" d="M698 367L80 367C64 367 56 359 56 344C56 329 64 321 80 321L698 321C714 321 722 329 722 344C722 356 711 367 698 367M698 179L80 179C64 179 56 171 56 156C56 141 64 133 80 133L698 133C714 133 722 141 722 156C722 169 711 179 698 179Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container>”，你根本无从得知“<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -1.068ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.696ex" height="3.267ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -972 3843.7 1444"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\left( 0, 2\sqrt{2} \right)"><g data-mml-node="mrow" data-latex="\left( 0, 2\sqrt{2} \right)"><g data-mml-node="mo" data-latex="\left("><path data-c="28" d="M444-472C455-472 461-466 461-455C461-449 459-445 454-442C382-387 325-294 282-164C245-53 226 57 226 164L226 336C226 443 245 552 282 664C325 793 382 886 454 942C459 945 461 949 461 955C461 966 455 972 444 972C440 972 437 971 434 968C353 905 285 809 232 681C181 560 156 445 156 336L156 164C156 55 181-60 232-181C285-310 353-405 434-468C437-471 440-472 444-472Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="0" transform="translate(523,0)"><path data-c="30" d="M249-22C390-22 460 92 460 320C460 473 428 575 365 625C330 652 291 666 250 666C109 666 39 551 39 320C39 136 88-22 249-22M361 524C368 489 371 425 371 332C371 240 367 172 360 128C347 48 310 8 249 8C226 8 203 17 182 34C155 57 139 104 132 176C129 201 128 253 128 332C128 419 131 480 136 513C145 568 163 603 191 618C213 630 232 636 249 636C314 636 350 583 361 524Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="," transform="translate(1023,0)"><path data-c="2C" d="M139 106C107 106 86 82 86 50C86 20 109-5 139-5C153-5 165-1 174 8L175 0C175-63 154-117 112-160C105-168 101-174 101-178C101-188 105-193 114-193C123-193 135-181 152-158C186-110 203-57 203 0C203 53 185 106 139 106Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="2" transform="translate(1467.7,0)"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612C69 576 50 534 50 483C50 449 75 424 106 424C136 424 161 450 161 480C161 513 137 536 105 536C102 536 100 536 98 535C117 584 161 627 224 627C306 627 352 556 352 470C352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0L450 180L417 180C409 129 402 100 396 91C391 86 361 84 306 84L139 84L236 179C304 243 390 312 419 365C439 400 449 435 449 470C449 588 357 666 237 666Z"></path></g><g data-mml-node="msqrt" data-latex="\sqrt{2}" transform="translate(1967.7,0)"><g data-mml-node="mo" transform="translate(0,860.5)"><path data-c="221A" d="M847-2C851 7 853 13 853 16C853 32 845 40 829 40C820 40 813 36 809 27C666-259 595-403 595-405L595-406C595-413 527-558 390-843L217-461C212-450 207-445 201-445C198-445 192-448 184-454L86-528C77-535 73-540 73-545C73-555 78-560 87-560C90-560 95-557 103-551L151-516L345-943C350-954 357-960 367-960C379-960 387-955 392-946Z"></path></g><g transform="translate(853,0)"><g data-mml-node="mn" data-latex="2"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612C69 576 50 534 50 483C50 449 75 424 106 424C136 424 161 450 161 480C161 513 137 536 105 536C102 536 100 536 98 535C117 584 161 627 224 627C306 627 352 556 352 470C352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0L450 180L417 180C409 129 402 100 396 91C391 86 361 84 306 84L139 84L236 179C304 243 390 312 419 365C439 400 449 435 449 470C449 588 357 666 237 666Z"></path></g></g><rect width="500" height="60" x="853" y="840.5"></rect></g><g data-mml-node="mo" data-latex="\right)" transform="translate(3320.7,0)"><path data-c="29" d="M89-468C170-405 238-310 291-181C342-60 367 55 367 164L367 336C367 445 342 560 291 681C238 810 170 905 89 968C85 971 82 972 79 972C68 972 62 966 62 955C62 950 64 945 68 942C140 887 198 795 241 664C278 552 297 443 297 336L297 164C297 57 278-52 241-164C198-295 140-387 68-442C64-445 62-450 62-455C62-466 68-472 79-472C82-472 86-471 89-468Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container>”的意义。这样复用符号是不是过于草率了呢？</p><p>更令人难以理解的是，很多人会推荐在括号嵌套时，依次轮换使用不同的括号：</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true"><svg style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="35.074ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 15502.7 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\{1 + [2 + (3 + \{ 4 + [5 + (6 + 7)]\})]\}"><g data-mml-node="mo" data-latex="\{"><path data-c="7B" d="M286-122L286 126C286 183 251 225 182 250C251 275 286 317 286 374L286 622C286 680 348 718 409 718C420 718 425 723 425 734C425 745 420 750 409 750C363 750 321 740 284 721C237 697 214 664 214 622L214 374C214 311 154 266 91 266C80 266 75 261 75 250C75 239 80 234 91 234C155 234 214 188 214 126L214-122C214-164 237-197 284-221C321-240 363-250 409-250C420-250 425-245 425-234C425-223 420-218 409-218C348-218 286-180 286-122Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="1" transform="translate(500,0)"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47C195 42 170 39 130 39L95 39L95 0C120 2 174 3 257 3C340 3 394 2 419 0L419 39L384 39C343 39 318 42 310 47C302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="+" transform="translate(1222.2,0)"><path data-c="2B" d="M698 274L413 274L413 559C413 575 405 583 389 583C373 583 365 575 365 559L365 274L80 274C64 274 56 266 56 250C56 234 64 226 80 226L365 226L365-59C365-75 373-83 389-83C405-83 413-75 413-59L413 226L698 226C714 226 722 234 722 250C722 263 711 274 698 274Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="[" transform="translate(2222.4,0)"><path data-c="5B" d="M233-202L159-202L159 702L233 702C248 702 256 710 256 726C256 742 248 750 233 750L114 750L114-250L233-250C248-250 256-242 256-226C256-214 245-202 233-202Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="2" transform="translate(2500.4,0)"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612C69 576 50 534 50 483C50 449 75 424 106 424C136 424 161 450 161 480C161 513 137 536 105 536C102 536 100 536 98 535C117 584 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xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.781ex" height="1.52ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -661 345 672"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="i"><g data-mml-node="mi" data-latex="i"><path data-c="1D456" d="M284 621C284 648 271 661 244 661C216 661 188 633 188 605C188 578 202 565 229 565C257 565 284 593 284 621M259 138C237 59 205 19 164 19C151 19 144 28 144 47C144 64 173 150 232 306C240 329 244 347 244 360C244 409 210 445 161 445C118 445 84 420 59 369C39 328 29 301 29 288C29 279 34 275 45 275C58 275 60 281 64 295C87 375 118 415 158 415C171 415 178 406 178 387C178 373 175 357 168 338C145 275 121 208 101 155C86 115 78 88 78 74C78 25 114-11 162-11C205-11 239 14 264 64C283 103 293 130 293 145C293 154 288 159 277 159C274 159 259 150 259 138Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 看起来是函数，但其实你找不出依据，你判断它们是函数的理由只能是：看起来像。这样的表示方法与省略乘号的 <mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.249ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 552 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="f \cdot [g \cdot (x)]"><g data-mml-node="mi" data-latex="f"><path data-c="1D453" d="M552 633C552 677 509 705 462 705C400 705 357 665 334 586C329 568 318 517 302 433L237 433C215 433 204 432 204 411C204 400 214 395 235 395L295 395L222 8C211-49 201-91 192-119C180-156 163-175 141-175C126-175 114-171 103-164C135-159 151-140 151-108C151-82 138-69 111-69C77-69 53-99 53-133C53-177 94-205 141-205C166-205 189-195 208-174C240-141 265-94 283-31C294 8 304 46 311 84L369 395L451 395C474 395 484 396 484 419C484 428 474 433 454 433L377 433C383 474 411 625 420 644C430 665 444 675 462 675C477 675 490 671 501 664C470 657 454 639 454 608C454 582 467 569 494 569C528 569 552 599 552 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192 221 192 250Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" transform="translate(500.2,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234C332-231 330-227 327-223C275-183 233-117 202-26C175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526C233 617 275 683 327 723C330 726 332 730 332 734C332 743 327 748 318 748C317 748 314 747 311 745C251 699 201 631 160 540C121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40C201-131 251-199 311-245C314-247 317-248 318-248Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="x" transform="translate(889.2,0)"><path data-c="1D465" d="M527 373C527 419 482 442 432 442C389 442 355 419 329 373C308 419 273 442 222 442C173 442 133 419 101 374C74 335 60 306 60 287C60 278 65 273 75 273C84 273 90 278 92 287C111 345 153 413 220 413C253 413 269 392 269 351C269 330 251 252 216 118C199 51 169 18 126 18C112 18 99 21 88 26C114 36 127 54 127 80C127 106 114 119 87 119C54 119 29 91 29 58C29 12 76-11 125-11C167-11 201 12 228 58C247 12 283-11 335-11C383-11 423 12 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并无区别。</p><h2 id="限制过多的集合与区间"><a href="#限制过多的集合与区间" class="headerlink" title="限制过多的集合与区间"></a>限制过多的集合与区间</h2><p>类型是严谨性的基石，然而数学不遵循这一点。<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.75ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3425.3 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\left\{ 1, \pi, e \right\}"><g data-mml-node="mrow" data-latex="\left\{ 1, \pi, e \right\}"><g data-mml-node="mo" data-latex="\left\{"><path data-c="7B" d="M286-122L286 126C286 183 251 225 182 250C251 275 286 317 286 374L286 622C286 680 348 718 409 718C420 718 425 723 425 734C425 745 420 750 409 750C363 750 321 740 284 721C237 697 214 664 214 622L214 374C214 311 154 266 91 266C80 266 75 261 75 250C75 239 80 234 91 234C155 234 214 188 214 126L214-122C214-164 237-197 284-221C321-240 363-250 409-250C420-250 425-245 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viewBox="0 -750 8557.3 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\left\{ (1, 1), (2, 3), (4, 9) \right\}"><g data-mml-node="mrow" data-latex="\left\{ (1, 1), (2, 3), (4, 9) \right\}"><g data-mml-node="mo" data-latex="\left\{"><path data-c="7B" d="M286-122L286 126C286 183 251 225 182 250C251 275 286 317 286 374L286 622C286 680 348 718 409 718C420 718 425 723 425 734C425 745 420 750 409 750C363 750 321 740 284 721C237 697 214 664 214 622L214 374C214 311 154 266 91 266C80 266 75 261 75 250C75 239 80 234 91 234C155 234 214 188 214 126L214-122C214-164 237-197 284-221C321-240 363-250 409-250C420-250 425-245 425-234C425-223 420-218 409-218C348-218 286-180 286-122Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" transform="translate(500,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234C332-231 330-227 327-223C275-183 233-117 202-26C175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526C233 617 275 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203 0C203 53 185 106 139 106Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" transform="translate(5834.7,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234C332-231 330-227 327-223C275-183 233-117 202-26C175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526C233 617 275 683 327 723C330 726 332 730 332 734C332 743 327 748 318 748C317 748 314 747 311 745C251 699 201 631 160 540C121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40C201-131 251-199 311-245C314-247 317-248 318-248Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="4" transform="translate(6223.7,0)"><path data-c="34" d="M353 677C344 677 336 672 330 663L28 199L28 163L289 163L289 81C289 63 285 51 278 46C271 41 252 39 219 39L194 39L194 0C223 2 269 3 331 3C393 3 439 2 468 0L468 39L443 39C410 39 391 41 384 46C377 51 373 63 373 81L373 163L471 163L471 202L373 202L373 660C373 670 366 677 353 677M295 553L295 202L67 202Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="," transform="translate(6723.7,0)"><path data-c="2C" d="M139 106C107 106 86 82 86 50C86 20 109-5 139-5C153-5 165-1 174 8L175 0C175-63 154-117 112-160C105-168 101-174 101-178C101-188 105-193 114-193C123-193 135-181 152-158C186-110 203-57 203 0C203 53 185 106 139 106Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="9" transform="translate(7168.3,0)"><path data-c="39" d="M116 140C83 140 67 123 67 89C67 14 128-22 207-22C287-22 351 18 398 99C437 166 457 243 457 329C457 456 434 546 388 599C349 644 304 666 253 666C194 666 145 645 106 602C63 557 42 503 42 440C42 379 60 327 96 284C134 238 183 215 242 215C294 215 334 243 361 299L361 286C361 177 342 103 303 63C272 30 239 14 206 14C166 14 137 23 118 42C149 42 165 60 165 91C165 119 144 140 116 140M243 246C204 246 175 266 155 306C144 329 138 374 138 439C138 504 145 548 158 573C180 613 212 633 253 633C294 633 324 608 343 558C354 531 361 485 361 420C361 333 322 246 243 246Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex=")" transform="translate(7668.3,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40C268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540C188 631 138 699 78 745C75 747 72 748 71 748C62 748 57 743 57 734C57 730 59 726 62 723C114 683 156 617 187 526C214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26C156-117 114-183 62-223C59-227 57-231 57-234C57-243 62-248 71-248C72-248 75-247 78-245Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="\right\}" transform="translate(8057.3,0)"><path data-c="7D" d="M286 374L286 622C286 664 263 697 216 721C179 740 137 750 91 750C80 750 75 745 75 734C75 723 80 718 91 718C152 718 214 680 214 622L214 374C214 317 249 275 318 250C249 225 214 183 214 126L214-122C214-180 152-218 91-218C80-218 75-223 75-234C75-245 80-250 91-250C137-250 179-240 216-221C263-197 286-164 286-122L286 126C286 188 345 234 409 234C420 234 425 239 425 250C425 261 420 266 409 266C345 266 286 312 286 374Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container></p><p>这一下子就不合法了。这说明取并集的集合的元素类型必须相同，然而一个有时看起来像坐标或者说是点的区间，竟和数构成的集合类型相同。这时候你也许会为数学辩解，说区间和数集本就是相同类型。那么为什么 <mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.394ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1500 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\{ 1 \}"><g data-mml-node="mo" data-latex="\{"><path data-c="7B" d="M286-122L286 126C286 183 251 225 182 250C251 275 286 317 286 374L286 622C286 680 348 718 409 718C420 718 425 723 425 734C425 745 420 750 409 750C363 750 321 740 284 721C237 697 214 664 214 622L214 374C214 311 154 266 91 266C80 266 75 261 75 250C75 239 80 234 91 234C155 234 214 188 214 126L214-122C214-164 237-197 284-221C321-240 363-250 409-250C420-250 425-245 425-234C425-223 420-218 409-218C348-218 286-180 286-122Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="1" transform="translate(500,0)"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47C195 42 170 39 130 39L95 39L95 0C120 2 174 3 257 3C340 3 394 2 419 0L419 39L384 39C343 39 318 42 310 47C302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="\}" transform="translate(1000,0)"><path data-c="7D" d="M286 374L286 622C286 664 263 697 216 721C179 740 137 750 91 750C80 750 75 745 75 734C75 723 80 718 91 718C152 718 214 680 214 622L214 374C214 317 249 275 318 250C249 225 214 183 214 126L214-122C214-180 152-218 91-218C80-218 75-223 75-234C75-245 80-250 91-250C137-250 179-240 216-221C263-197 286-164 286-122L286 126C286 188 345 234 409 234C420 234 425 239 425 250C425 261 420 266 409 266C345 266 286 312 286 374Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 是合法的，可是 <mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.526ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2000.7 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="[1, 1]"><g data-mml-node="mo" data-latex="["><path data-c="5B" d="M233-202L159-202L159 702L233 702C248 702 256 710 256 726C256 742 248 750 233 750L114 750L114-250L233-250C248-250 256-242 256-226C256-214 245-202 233-202Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="1" transform="translate(278,0)"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47C195 42 170 39 130 39L95 39L95 0C120 2 174 3 257 3C340 3 394 2 419 0L419 39L384 39C343 39 318 42 310 47C302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="," transform="translate(778,0)"><path data-c="2C" d="M139 106C107 106 86 82 86 50C86 20 109-5 139-5C153-5 165-1 174 8L175 0C175-63 154-117 112-160C105-168 101-174 101-178C101-188 105-193 114-193C123-193 135-181 152-158C186-110 203-57 203 0C203 53 185 106 139 106Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="1" transform="translate(1222.7,0)"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47C195 42 170 39 130 39L95 39L95 0C120 2 174 3 257 3C340 3 394 2 419 0L419 39L384 39C343 39 318 42 310 47C302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="]" transform="translate(1722.7,0)"><path data-c="5D" d="M45-250L164-250L164 750L45 750C30 750 22 742 22 726C22 710 30 702 45 702L119 702L119-202L45-202C30-202 22-210 22-226C22-242 30-250 45-250Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 却不合法？</p><p>有时以集合中的元素类型命名集合，比如“点集”、“数集”等。那么我们往往认为，一个点集和一个数集肯定不同，相互也不能成为对方的子集。但是由于数学没有类型，空集不仅失去了它的元素，还失去了它的类型，比如“<em><strong>点</strong></em>集”的“<em><strong>点</strong></em>”、“<em><strong>数</strong></em>集”的“<em><strong>数</strong></em>”。这时，这些集合一旦成为空集就会产生一些预期之外的事：</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true"><svg style="vertical-align: -0.792ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="17.665ex" height="2.792ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -883.9 7808.1 1233.9"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="P = \left\{ y = x^2 + 1 \right\}"><g data-mml-node="mi" data-latex="P"><path data-c="1D443" d="M555 683L235 683C212 683 201 682 201 660C201 649 212 644 234 644C254 644 294 647 294 631C294 629 293 623 290 613L158 82C152 60 142 47 128 42C121 40 103 39 72 39C50 39 40 37 40 16C40 5 46 0 59 0L184 3L248 2C259 2 299 0 312 0C328 0 336 8 336 24C336 34 325 39 304 39C264 39 244 43 244 52C244 52 245 55 247 68L307 312L472 312C537 312 599 332 657 371C722 414 754 467 754 530C754 629 660 683 555 683M524 644C611 644 654 614 654 554C654 498 626 423 597 397C559 363 509 346 447 346L313 346L379 610C387 644 387 644 429 644Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="=" transform="translate(1031.8,0)"><path data-c="3D" d="M698 367L80 367C64 367 56 359 56 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373C527 419 482 442 432 442C389 442 355 419 329 373C308 419 273 442 222 442C173 442 133 419 101 374C74 335 60 306 60 287C60 278 65 273 75 273C84 273 90 278 92 287C111 345 153 413 220 413C253 413 269 392 269 351C269 330 251 252 216 118C199 51 169 18 126 18C112 18 99 21 88 26C114 36 127 54 127 80C127 106 114 119 87 119C54 119 29 91 29 58C29 12 76-11 125-11C167-11 201 12 228 58C247 12 283-11 335-11C383-11 423 12 455 57C482 96 496 125 496 144C496 153 491 158 481 158C472 158 467 153 464 144C447 87 402 18 337 18C304 18 287 38 287 79C287 92 292 120 303 165L337 300C356 375 387 413 431 413C445 413 458 410 469 405C442 396 429 378 429 351C429 325 443 312 470 312C502 312 527 341 527 373Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(605,413) scale(0.707)" data-latex="2"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612C69 576 50 534 50 483C50 449 75 424 106 424C136 424 161 450 161 480C161 513 137 536 105 536C102 536 100 536 98 535C117 584 161 627 224 627C306 627 352 556 352 470C352 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transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\left\{ 1 \right\}"><g data-mml-node="mrow" data-latex="\left\{ 1 \right\}"><g data-mml-node="mo" data-latex="\left\{"><path data-c="7B" d="M286-122L286 126C286 183 251 225 182 250C251 275 286 317 286 374L286 622C286 680 348 718 409 718C420 718 425 723 425 734C425 745 420 750 409 750C363 750 321 740 284 721C237 697 214 664 214 622L214 374C214 311 154 266 91 266C80 266 75 261 75 250C75 239 80 234 91 234C155 234 214 188 214 126L214-122C214-164 237-197 284-221C321-240 363-250 409-250C420-250 425-245 425-234C425-223 420-218 409-218C348-218 286-180 286-122Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="1" transform="translate(500,0)"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47C195 42 170 39 130 39L95 39L95 0C120 2 174 3 257 3C340 3 394 2 419 0L419 39L384 39C343 39 318 42 310 47C302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="\right\}" transform="translate(1000,0)"><path data-c="7D" d="M286 374L286 622C286 664 263 697 216 721C179 740 137 750 91 750C80 750 75 745 75 734C75 723 80 718 91 718C152 718 214 680 214 622L214 374C214 317 249 275 318 250C249 225 214 183 214 126L214-122C214-180 152-218 91-218C80-218 75-223 75-234C75-245 80-250 91-250C137-250 179-240 216-221C263-197 286-164 286-122L286 126C286 188 345 234 409 234C420 234 425 239 425 250C425 261 420 266 409 266C345 266 286 312 286 374Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> 和 <mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.668ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3389.3 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\left\{ 1, 1, 1 \right\}"><g data-mml-node="mrow" data-latex="\left\{ 1, 1, 1 \right\}"><g data-mml-node="mo" data-latex="\left\{"><path data-c="7B" d="M286-122L286 126C286 183 251 225 182 250C251 275 286 317 286 374L286 622C286 680 348 718 409 718C420 718 425 723 425 734C425 745 420 750 409 750C363 750 321 740 284 721C237 697 214 664 214 622L214 374C214 311 154 266 91 266C80 266 75 261 75 250C75 239 80 234 91 234C155 234 214 188 214 126L214-122C214-164 237-197 284-221C321-240 363-250 409-250C420-250 425-245 425-234C425-223 420-218 409-218C348-218 286-180 286-122Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="1" transform="translate(500,0)"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47C195 42 170 39 130 39L95 39L95 0C120 2 174 3 257 3C340 3 394 2 419 0L419 39L384 39C343 39 318 42 310 47C302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="," transform="translate(1000,0)"><path data-c="2C" d="M139 106C107 106 86 82 86 50C86 20 109-5 139-5C153-5 165-1 174 8L175 0C175-63 154-117 112-160C105-168 101-174 101-178C101-188 105-193 114-193C123-193 135-181 152-158C186-110 203-57 203 0C203 53 185 106 139 106Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="1" transform="translate(1444.7,0)"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47C195 42 170 39 130 39L95 39L95 0C120 2 174 3 257 3C340 3 394 2 419 0L419 39L384 39C343 39 318 42 310 47C302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="," transform="translate(1944.7,0)"><path data-c="2C" d="M139 106C107 106 86 82 86 50C86 20 109-5 139-5C153-5 165-1 174 8L175 0C175-63 154-117 112-160C105-168 101-174 101-178C101-188 105-193 114-193C123-193 135-181 152-158C186-110 203-57 203 0C203 53 185 106 139 106Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="1" transform="translate(2389.3,0)"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47C195 42 170 39 130 39L95 39L95 0C120 2 174 3 257 3C340 3 394 2 419 0L419 39L384 39C343 39 318 42 310 47C302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="\right\}" transform="translate(2889.3,0)"><path data-c="7D" d="M286 374L286 622C286 664 263 697 216 721C179 740 137 750 91 750C80 750 75 745 75 734C75 723 80 718 91 718C152 718 214 680 214 622L214 374C214 317 249 275 318 250C249 225 214 183 214 126L214-122C214-180 152-218 91-218C80-218 75-223 75-234C75-245 80-250 91-250C137-250 179-240 216-221C263-197 286-164 286-122L286 126C286 188 345 234 409 234C420 234 425 239 425 250C425 261 420 266 409 266C345 266 286 312 286 374Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> 是等价的。既然连隐式类型转换都到处都是，那么为什么不能自动地隐式忽略相同元素呢？真是充分发挥了隐式的弊端，而避开了隐式的优势。然后当你学习数列时，你又发现数列完全就是一个数组构造函数，真正像数组的东西倒是向量。</p><h2 id="隐式类型转换"><a href="#隐式类型转换" class="headerlink" title="隐式类型转换"></a>隐式类型转换</h2><p>我们可以定义一个 <mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.061ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 469 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="s"><g data-mml-node="mi" data-latex="s"><path data-c="1D460" d="M420 354C420 411 362 442 300 442C237 442 192 423 165 385C142 352 130 322 130 295C130 242 165 208 234 193C263 188 285 181 302 173C323 164 333 147 333 123C333 105 325 85 308 62C287 33 250 18 197 18C143 18 108 33 92 62C124 61 151 87 151 119C151 144 138 157 111 157C75 157 52 124 52 88C52 22 124-11 196-11C271-11 325 11 357 56C384 93 397 126 397 156C397 199 376 231 335 252C304 263 280 270 265 273C230 282 194 285 194 328C194 381 244 413 300 413C342 413 369 400 382 375C360 371 337 352 337 327C337 306 348 295 371 295C402 295 420 323 420 354Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 代表一个代数式：</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true"><svg style="vertical-align: -0.188ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="11.388ex" height="2.188ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -883.9 5033.6 966.9"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="s = 3x^2 + 6"><g data-mml-node="mi" data-latex="s"><path data-c="1D460" d="M420 354C420 411 362 442 300 442C237 442 192 423 165 385C142 352 130 322 130 295C130 242 165 208 234 193C263 188 285 181 302 173C323 164 333 147 333 123C333 105 325 85 308 62C287 33 250 18 197 18C143 18 108 33 92 62C124 61 151 87 151 119C151 144 138 157 111 157C75 157 52 124 52 88C52 22 124-11 196-11C271-11 325 11 357 56C384 93 397 126 397 156C397 199 376 231 335 252C304 263 280 270 265 273C230 282 194 285 194 328C194 381 244 413 300 413C342 413 369 400 382 375C360 371 337 352 337 327C337 306 348 295 371 295C402 295 420 323 420 354Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="=" transform="translate(746.8,0)"><path data-c="3D" d="M698 367L80 367C64 367 56 359 56 344C56 329 64 321 80 321L698 321C714 321 722 329 722 344C722 356 711 367 698 367M698 179L80 179C64 179 56 171 56 156C56 141 64 133 80 133L698 133C714 133 722 141 722 156C722 169 711 179 698 179Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="3" transform="translate(1802.6,0)"><path data-c="33" d="M303 353C369 378 431 441 431 526C431 569 410 604 369 631C333 654 292 666 246 666C201 666 162 654 127 631C88 605 68 571 68 528C68 495 90 472 122 472C154 472 176 495 176 527C176 560 157 578 119 580C145 615 186 633 242 633C302 633 332 598 332 527C332 485 324 450 309 421C282 373 245 364 183 364C171 362 165 357 165 348C165 333 172 333 192 333L235 333C310 333 348 280 348 173C348 88 317 14 241 14C176 14 128 36 99 80C134 79 160 105 160 139C160 173 135 198 101 198C62 198 42 178 42 137C42 88 64 49 108 18C147-9 193-22 244-22C301-22 350-3 393 34C436 71 457 117 457 173C457 267 383 332 303 353Z"></path></g><g data-mml-node="msup" data-latex="x^2" transform="translate(2302.6,0)"><g data-mml-node="mi" data-latex="x"><path data-c="1D465" d="M527 373C527 419 482 442 432 442C389 442 355 419 329 373C308 419 273 442 222 442C173 442 133 419 101 374C74 335 60 306 60 287C60 278 65 273 75 273C84 273 90 278 92 287C111 345 153 413 220 413C253 413 269 392 269 351C269 330 251 252 216 118C199 51 169 18 126 18C112 18 99 21 88 26C114 36 127 54 127 80C127 106 114 119 87 119C54 119 29 91 29 58C29 12 76-11 125-11C167-11 201 12 228 58C247 12 283-11 335-11C383-11 423 12 455 57C482 96 496 125 496 144C496 153 491 158 481 158C472 158 467 153 464 144C447 87 402 18 337 18C304 18 287 38 287 79C287 92 292 120 303 165L337 300C356 375 387 413 431 413C445 413 458 410 469 405C442 396 429 378 429 351C429 325 443 312 470 312C502 312 527 341 527 373Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(605,413) scale(0.707)" data-latex="2"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612C69 576 50 534 50 483C50 449 75 424 106 424C136 424 161 450 161 480C161 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402 138 346L138 352C138 465 166 561 226 605C252 624 279 633 306 633C342 633 368 623 385 602C351 602 334 583 334 553C334 525 355 504 383 504M344 340C355 317 361 272 361 206C361 141 356 98 345 76C325 35 294 14 251 14C222 14 200 24 184 44C171 60 162 74 158 85C146 116 140 163 140 227C140 255 144 282 151 308C164 355 201 399 256 399C295 399 325 379 344 340Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></p><p>这时候，我想，<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.061ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 469 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="s"><g data-mml-node="mi" data-latex="s"><path data-c="1D460" d="M420 354C420 411 362 442 300 442C237 442 192 423 165 385C142 352 130 322 130 295C130 242 165 208 234 193C263 188 285 181 302 173C323 164 333 147 333 123C333 105 325 85 308 62C287 33 250 18 197 18C143 18 108 33 92 62C124 61 151 87 151 119C151 144 138 157 111 157C75 157 52 124 52 88C52 22 124-11 196-11C271-11 325 11 357 56C384 93 397 126 397 156C397 199 376 231 335 252C304 263 280 270 265 273C230 282 194 285 194 328C194 381 244 413 300 413C342 413 369 400 382 375C360 371 337 352 337 327C337 306 348 295 371 295C402 295 420 323 420 354Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 应该可以算是属于表达式类型，然而给它加个括号，它就变成了一个函数：</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true"><svg style="vertical-align: -0.561ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="14.442ex" height="2.561ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -883.9 6383.6 1131.9"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="s(x) = 3x^2 + 6"><g data-mml-node="mi" data-latex="s"><path data-c="1D460" d="M420 354C420 411 362 442 300 442C237 442 192 423 165 385C142 352 130 322 130 295C130 242 165 208 234 193C263 188 285 181 302 173C323 164 333 147 333 123C333 105 325 85 308 62C287 33 250 18 197 18C143 18 108 33 92 62C124 61 151 87 151 119C151 144 138 157 111 157C75 157 52 124 52 88C52 22 124-11 196-11C271-11 325 11 357 56C384 93 397 126 397 156C397 199 376 231 335 252C304 263 280 270 265 273C230 282 194 285 194 328C194 381 244 413 300 413C342 413 369 400 382 375C360 371 337 352 337 327C337 306 348 295 371 295C402 295 420 323 420 354Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" transform="translate(469,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234C332-231 330-227 327-223C275-183 233-117 202-26C175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526C233 617 275 683 327 723C330 726 332 730 332 734C332 743 327 748 318 748C317 748 314 747 311 745C251 699 201 631 160 540C121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40C201-131 251-199 311-245C314-247 317-248 318-248Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="x" transform="translate(858,0)"><path data-c="1D465" d="M527 373C527 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198C62 198 42 178 42 137C42 88 64 49 108 18C147-9 193-22 244-22C301-22 350-3 393 34C436 71 457 117 457 173C457 267 383 332 303 353Z"></path></g><g data-mml-node="msup" data-latex="x^2" transform="translate(3652.6,0)"><g data-mml-node="mi" data-latex="x"><path data-c="1D465" d="M527 373C527 419 482 442 432 442C389 442 355 419 329 373C308 419 273 442 222 442C173 442 133 419 101 374C74 335 60 306 60 287C60 278 65 273 75 273C84 273 90 278 92 287C111 345 153 413 220 413C253 413 269 392 269 351C269 330 251 252 216 118C199 51 169 18 126 18C112 18 99 21 88 26C114 36 127 54 127 80C127 106 114 119 87 119C54 119 29 91 29 58C29 12 76-11 125-11C167-11 201 12 228 58C247 12 283-11 335-11C383-11 423 12 455 57C482 96 496 125 496 144C496 153 491 158 481 158C472 158 467 153 464 144C447 87 402 18 337 18C304 18 287 38 287 79C287 92 292 120 303 165L337 300C356 375 387 413 431 413C445 413 458 410 469 405C442 396 429 378 429 351C429 325 443 312 470 312C502 312 527 341 527 373Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(605,413) scale(0.707)" data-latex="2"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612C69 576 50 534 50 483C50 449 75 424 106 424C136 424 161 450 161 480C161 513 137 536 105 536C102 536 100 536 98 535C117 584 161 627 224 627C306 627 352 556 352 470C352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0L450 180L417 180C409 129 402 100 396 91C391 86 361 84 306 84L139 84L236 179C304 243 390 312 419 365C439 400 449 435 449 470C449 588 357 666 237 666Z"></path></g></g><g data-mml-node="mo" data-latex="+" transform="translate(4883.3,0)"><path data-c="2B" d="M698 274L413 274L413 559C413 575 405 583 389 583C373 583 365 575 365 559L365 274L80 274C64 274 56 266 56 250C56 234 64 226 80 226L365 226L365-59C365-75 373-83 389-83C405-83 413-75 413-59L413 226L698 226C714 226 722 234 722 250C722 263 711 274 698 274Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="6" transform="translate(5883.6,0)"><path data-c="36" d="M383 504C416 504 432 521 432 555C432 627 378 666 304 666C221 666 155 627 106 548C63 480 42 403 42 316C42 189 65 100 112 47C152 1 198-22 251-22C312-22 362 1 401 47C438 91 457 144 457 205C457 266 439 318 403 361C365 407 316 431 257 431C205 431 165 402 138 346L138 352C138 465 166 561 226 605C252 624 279 633 306 633C342 633 368 623 385 602C351 602 334 583 334 553C334 525 355 504 383 504M344 340C355 317 361 272 361 206C361 141 356 98 345 76C325 35 294 14 251 14C222 14 200 24 184 44C171 60 162 74 158 85C146 116 140 163 140 227C140 255 144 282 151 308C164 355 201 399 256 399C295 399 325 379 344 340Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></p><p>于是 <mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.061ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 469 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="s"><g data-mml-node="mi" data-latex="s"><path data-c="1D460" d="M420 354C420 411 362 442 300 442C237 442 192 423 165 385C142 352 130 322 130 295C130 242 165 208 234 193C263 188 285 181 302 173C323 164 333 147 333 123C333 105 325 85 308 62C287 33 250 18 197 18C143 18 108 33 92 62C124 61 151 87 151 119C151 144 138 157 111 157C75 157 52 124 52 88C52 22 124-11 196-11C271-11 325 11 357 56C384 93 397 126 397 156C397 199 376 231 335 252C304 263 280 270 265 273C230 282 194 285 194 328C194 381 244 413 300 413C342 413 369 400 382 375C360 371 337 352 337 327C337 306 348 295 371 295C402 295 420 323 420 354Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 被隐式地转换成了一个函数。紧接着，给 <mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.061ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 469 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="s"><g data-mml-node="mi" data-latex="s"><path data-c="1D460" d="M420 354C420 411 362 442 300 442C237 442 192 423 165 385C142 352 130 322 130 295C130 242 165 208 234 193C263 188 285 181 302 173C323 164 333 147 333 123C333 105 325 85 308 62C287 33 250 18 197 18C143 18 108 33 92 62C124 61 151 87 151 119C151 144 138 157 111 157C75 157 52 124 52 88C52 22 124-11 196-11C271-11 325 11 357 56C384 93 397 126 397 156C397 199 376 231 335 252C304 263 280 270 265 273C230 282 194 285 194 328C194 381 244 413 300 413C342 413 369 400 382 375C360 371 337 352 337 327C337 306 348 295 371 295C402 295 420 323 420 354Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 加个“<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: 0;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.839ex" height="1.7ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -751.2 370.8 751.2"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="’"><g data-mml-node="msup" data-latex="’"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(33,363) scale(0.707)" data-latex="’"><path data-c="2032" d="M284 549C259 549 242 539 233 518L65 96L110 96L332 463C337 472 340 482 340 493C340 523 314 549 284 549Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container>”，它又变成了函数 <mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.061ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 469 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="s"><g data-mml-node="mi" data-latex="s"><path data-c="1D460" d="M420 354C420 411 362 442 300 442C237 442 192 423 165 385C142 352 130 322 130 295C130 242 165 208 234 193C263 188 285 181 302 173C323 164 333 147 333 123C333 105 325 85 308 62C287 33 250 18 197 18C143 18 108 33 92 62C124 61 151 87 151 119C151 144 138 157 111 157C75 157 52 124 52 88C52 22 124-11 196-11C271-11 325 11 357 56C384 93 397 126 397 156C397 199 376 231 335 252C304 263 280 270 265 273C230 282 194 285 194 328C194 381 244 413 300 413C342 413 369 400 382 375C360 371 337 352 337 327C337 306 348 295 371 295C402 295 420 323 420 354Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 的导函数：</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true"><svg style="vertical-align: -0.561ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.397ex" height="2.374ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -801.2 4595.3 1049.2"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="s’(x) = 6x"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi" data-latex="s"><path data-c="1D460" d="M420 354C420 411 362 442 300 442C237 442 192 423 165 385C142 352 130 322 130 295C130 242 165 208 234 193C263 188 285 181 302 173C323 164 333 147 333 123C333 105 325 85 308 62C287 33 250 18 197 18C143 18 108 33 92 62C124 61 151 87 151 119C151 144 138 157 111 157C75 157 52 124 52 88C52 22 124-11 196-11C271-11 325 11 357 56C384 93 397 126 397 156C397 199 376 231 335 252C304 263 280 270 265 273C230 282 194 285 194 328C194 381 244 413 300 413C342 413 369 400 382 375C360 371 337 352 337 327C337 306 348 295 371 295C402 295 420 323 420 354Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(502,413) scale(0.707)" data-latex="’"><path data-c="2032" d="M284 549C259 549 242 539 233 518L65 96L110 96L332 463C337 472 340 482 340 493C340 523 314 549 284 549Z"></path></g></g><g data-mml-node="mo" data-latex="(" transform="translate(839.8,0)"><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234C332-231 330-227 327-223C275-183 233-117 202-26C175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526C233 617 275 683 327 723C330 726 332 730 332 734C332 743 327 748 318 748C317 748 314 747 311 745C251 699 201 631 160 540C121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40C201-131 251-199 311-245C314-247 317-248 318-248Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="x" transform="translate(1228.8,0)"><path data-c="1D465" d="M527 373C527 419 482 442 432 442C389 442 355 419 329 373C308 419 273 442 222 442C173 442 133 419 101 374C74 335 60 306 60 287C60 278 65 273 75 273C84 273 90 278 92 287C111 345 153 413 220 413C253 413 269 392 269 351C269 330 251 252 216 118C199 51 169 18 126 18C112 18 99 21 88 26C114 36 127 54 127 80C127 106 114 119 87 119C54 119 29 91 29 58C29 12 76-11 125-11C167-11 201 12 228 58C247 12 283-11 335-11C383-11 423 12 455 57C482 96 496 125 496 144C496 153 491 158 481 158C472 158 467 153 464 144C447 87 402 18 337 18C304 18 287 38 287 79C287 92 292 120 303 165L337 300C356 375 387 413 431 413C445 413 458 410 469 405C442 396 429 378 429 351C429 325 443 312 470 312C502 312 527 341 527 373Z"></path></g><g data-mml-node="mo" data-latex=")" transform="translate(1800.8,0)"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40C268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540C188 631 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328C194 381 244 413 300 413C342 413 369 400 382 375C360 371 337 352 337 327C337 306 348 295 371 295C402 295 420 323 420 354Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(502,363) scale(0.707)" data-latex="’"><path data-c="2032" d="M284 549C259 549 242 539 233 518L65 96L110 96L332 463C337 472 340 482 340 493C340 523 314 549 284 549Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container> 应该也可以看作是一个表达式，所以说，我们绕了一圈，证明了表达式类型具有可求导函数的性质，所以，表达式也能有导函数了。</p><h2 id="不明确的运算适用范围"><a href="#不明确的运算适用范围" class="headerlink" title="不明确的运算适用范围"></a>不明确的运算适用范围</h2><p>我们可以对一个函数的返回值做平方运算：</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true"><svg style="vertical-align: -0.561ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.964ex" height="2.561ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -883.9 3078.2 1131.9"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="(\sin \theta)^2"><g data-mml-node="mo" data-latex="("><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234C332-231 330-227 327-223C275-183 233-117 202-26C175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526C233 617 275 683 327 723C330 726 332 730 332 734C332 743 327 748 318 748C317 748 314 747 311 745C251 699 201 631 160 540C121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40C201-131 251-199 311-245C314-247 317-248 318-248Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="\sin" transform="translate(389,0)"><path data-c="73" d="M360 130C360 206 308 254 205 274C158 283 128 294 112 305C96 316 88 332 88 351C88 398 123 421 193 421C261 421 298 383 303 306C304 298 309 294 319 294C330 294 336 303 336 321L336 420C336 439 331 448 321 448C310 448 295 430 285 422C260 439 229 448 193 448C104 448 33 408 33 323C33 289 47 260 76 237C111 208 144 202 207 191C272 178 305 149 305 104C305 47 270 18 199 18C130 18 86 64 67 155C64 168 59 175 50 175C39 175 33 165 33 146L33 17C33-2 38-11 48-11C51-11 56-8 64-1C82 15 74 12 92 30C121 3 157-11 199-11C294-11 360 38 360 130Z"></path><path data-c="69" d="M194 601C194 631 169 657 139 657C109 657 83 631 83 601C83 571 108 544 138 544C169 544 194 570 194 601M143 3L247 0L247 39C214 39 194 41 188 45C182 49 180 60 180 78L180 445L37 433L37 395C70 395 91 392 98 387C105 382 108 368 108 345L108 79C108 60 105 48 98 44C91 40 69 39 33 39L33 0Z" transform="translate(394,0)"></path><path data-c="6E" d="M314 413C359 413 382 378 382 307L382 79C382 60 379 48 372 44C365 40 343 38 306 38L306 0L421 3L535 0L535 38C503 38 482 39 472 42C462 45 458 52 458 64L458 251C458 298 457 331 454 350C444 411 399 442 320 442C257 442 210 412 179 352L179 442L32 431L32 393C68 393 90 390 98 384C106 378 109 365 109 342L109 79C109 60 105 48 98 44C91 40 69 38 32 38L32 0L147 3L261 0L261 38C224 38 203 40 196 44C189 48 185 60 185 79L185 259C185 340 236 413 314 413Z" transform="translate(672,0)"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1617,0)"><path data-c="2061" d=""></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="\theta" transform="translate(1783.7,0)"><path data-c="1D703" d="M164-11C209-11 256 16 302 70C382 163 455 335 455 498C455 539 448 582 434 625C416 678 382 705 333 705C288 705 243 678 196 624C116 532 42 360 42 196C42 94 75-11 164-11M332 675C365 675 382 637 382 560C382 517 372 452 352 367L155 367C180 460 204 529 229 574C266 641 301 675 332 675M145 327L341 327C322 246 299 181 274 132C235 57 199 19 164 19C131 19 115 58 115 135C115 185 125 249 145 327Z"></path></g><g data-mml-node="msup" data-latex=")^2" transform="translate(2252.7,0)"><g data-mml-node="mo" data-latex=")"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40C268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540C188 631 138 699 78 745C75 747 72 748 71 748C62 748 57 743 57 734C57 730 59 726 62 723C114 683 156 617 187 526C214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26C156-117 114-183 62-223C59-227 57-231 57-234C57-243 62-248 71-248C72-248 75-247 78-245Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(422,413) scale(0.707)" data-latex="2"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612C69 576 50 534 50 483C50 449 75 424 106 424C136 424 161 450 161 480C161 513 137 536 105 536C102 536 100 536 98 535C117 584 161 627 224 627C306 627 352 556 352 470C352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0L450 180L417 180C409 129 402 100 396 91C391 86 361 84 306 84L139 84L236 179C304 243 390 312 419 365C439 400 449 435 449 470C449 588 357 666 237 666Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container></p><p>而这一表达，也可以写为：</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true"><svg style="vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.204ex" height="2.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -883.9 2300.2 894.9"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\sin^2 \theta"><g data-mml-node="msup" data-latex="\sin^2"><g data-mml-node="mi" data-latex="\sin"><path data-c="73" d="M360 130C360 206 308 254 205 274C158 283 128 294 112 305C96 316 88 332 88 351C88 398 123 421 193 421C261 421 298 383 303 306C304 298 309 294 319 294C330 294 336 303 336 321L336 420C336 439 331 448 321 448C310 448 295 430 285 422C260 439 229 448 193 448C104 448 33 408 33 323C33 289 47 260 76 237C111 208 144 202 207 191C272 178 305 149 305 104C305 47 270 18 199 18C130 18 86 64 67 155C64 168 59 175 50 175C39 175 33 165 33 146L33 17C33-2 38-11 48-11C51-11 56-8 64-1C82 15 74 12 92 30C121 3 157-11 199-11C294-11 360 38 360 130Z"></path><path data-c="69" d="M194 601C194 631 169 657 139 657C109 657 83 631 83 601C83 571 108 544 138 544C169 544 194 570 194 601M143 3L247 0L247 39C214 39 194 41 188 45C182 49 180 60 180 78L180 445L37 433L37 395C70 395 91 392 98 387C105 382 108 368 108 345L108 79C108 60 105 48 98 44C91 40 69 39 33 39L33 0Z" transform="translate(394,0)"></path><path data-c="6E" d="M314 413C359 413 382 378 382 307L382 79C382 60 379 48 372 44C365 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data-c="2061" d=""></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="\theta" transform="translate(1831.2,0)"><path data-c="1D703" d="M164-11C209-11 256 16 302 70C382 163 455 335 455 498C455 539 448 582 434 625C416 678 382 705 333 705C288 705 243 678 196 624C116 532 42 360 42 196C42 94 75-11 164-11M332 675C365 675 382 637 382 560C382 517 372 452 352 367L155 367C180 460 204 529 229 574C266 641 301 675 332 675M145 327L341 327C322 246 299 181 274 132C235 57 199 19 164 19C131 19 115 58 115 135C115 185 125 249 145 327Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></p><p>这样简写，明显就是在对函数做平方运算，而非其返回值。如果这样的语法确实合法，那么这样应该也行：</p><p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow" display="true"><svg style="vertical-align: -0.561ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="16.125ex" height="2.879ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1024.6 7127.1 1272.6"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="(\sin \theta)^{\frac{1}{2}} = \sin^{\frac{1}{2}} \theta"><g data-mml-node="mo" data-latex="("><path data-c="28" d="M318-248C327-248 332-243 332-234C332-231 330-227 327-223C275-183 233-117 202-26C175 53 161 131 161 208L161 292C161 369 175 447 202 526C233 617 275 683 327 723C330 726 332 730 332 734C332 743 327 748 318 748C317 748 314 747 311 745C251 699 201 631 160 540C121 453 101 371 101 292L101 208C101 129 121 47 160-40C201-131 251-199 311-245C314-247 317-248 318-248Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="\sin" transform="translate(389,0)"><path data-c="73" d="M360 130C360 206 308 254 205 274C158 283 128 294 112 305C96 316 88 332 88 351C88 398 123 421 193 421C261 421 298 383 303 306C304 298 309 294 319 294C330 294 336 303 336 321L336 420C336 439 331 448 321 448C310 448 295 430 285 422C260 439 229 448 193 448C104 448 33 408 33 323C33 289 47 260 76 237C111 208 144 202 207 191C272 178 305 149 305 104C305 47 270 18 199 18C130 18 86 64 67 155C64 168 59 175 50 175C39 175 33 165 33 146L33 17C33-2 38-11 48-11C51-11 56-8 64-1C82 15 74 12 92 30C121 3 157-11 199-11C294-11 360 38 360 130Z"></path><path data-c="69" d="M194 601C194 631 169 657 139 657C109 657 83 631 83 601C83 571 108 544 138 544C169 544 194 570 194 601M143 3L247 0L247 39C214 39 194 41 188 45C182 49 180 60 180 78L180 445L37 433L37 395C70 395 91 392 98 387C105 382 108 368 108 345L108 79C108 60 105 48 98 44C91 40 69 39 33 39L33 0Z" transform="translate(394,0)"></path><path data-c="6E" d="M314 413C359 413 382 378 382 307L382 79C382 60 379 48 372 44C365 40 343 38 306 38L306 0L421 3L535 0L535 38C503 38 482 39 472 42C462 45 458 52 458 64L458 251C458 298 457 331 454 350C444 411 399 442 320 442C257 442 210 412 179 352L179 442L32 431L32 393C68 393 90 390 98 384C106 378 109 365 109 342L109 79C109 60 105 48 98 44C91 40 69 38 32 38L32 0L147 3L261 0L261 38C224 38 203 40 196 44C189 48 185 60 185 79L185 259C185 340 236 413 314 413Z" transform="translate(672,0)"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1617,0)"><path data-c="2061" d=""></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="\theta" transform="translate(1783.7,0)"><path data-c="1D703" d="M164-11C209-11 256 16 302 70C382 163 455 335 455 498C455 539 448 582 434 625C416 678 382 705 333 705C288 705 243 678 196 624C116 532 42 360 42 196C42 94 75-11 164-11M332 675C365 675 382 637 382 560C382 517 372 452 352 367L155 367C180 460 204 529 229 574C266 641 301 675 332 675M145 327L341 327C322 246 299 181 274 132C235 57 199 19 164 19C131 19 115 58 115 135C115 185 125 249 145 327Z"></path></g><g data-mml-node="msup" data-latex=")^{\frac{1}{2}}" transform="translate(2252.7,0)"><g data-mml-node="mo" data-latex=")"><path data-c="29" d="M78-245C138-199 188-131 229-40C268 47 288 129 288 208L288 292C288 371 268 453 229 540C188 631 138 699 78 745C75 747 72 748 71 748C62 748 57 743 57 734C57 730 59 726 62 723C114 683 156 617 187 526C214 447 228 369 228 292L228 208C228 131 214 53 187-26C156-117 114-183 62-223C59-227 57-231 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stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\sqrt{\sin \theta}"><g data-mml-node="msqrt" data-latex="\sqrt{\sin \theta}"><g data-mml-node="mo" transform="translate(0,922.3)"><path data-c="221A" d="M847-2C851 7 853 13 853 16C853 32 845 40 829 40C820 40 813 36 809 27C666-259 595-403 595-405L595-406C595-413 527-558 390-843L217-461C212-450 207-445 201-445C198-445 192-448 184-454L86-528C77-535 73-540 73-545C73-555 78-560 87-560C90-560 95-557 103-551L151-516L345-943C350-954 357-960 367-960C379-960 387-955 392-946Z"></path></g><g transform="translate(853,0)"><g data-mml-node="mi" data-latex="\sin"><path data-c="73" d="M360 130C360 206 308 254 205 274C158 283 128 294 112 305C96 316 88 332 88 351C88 398 123 421 193 421C261 421 298 383 303 306C304 298 309 294 319 294C330 294 336 303 336 321L336 420C336 439 331 448 321 448C310 448 295 430 285 422C260 439 229 448 193 448C104 448 33 408 33 323C33 289 47 260 76 237C111 208 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viewBox="0 -666 1555.8 713"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\gt 1"><g data-mml-node="mo" data-latex="\gt"><path data-c="3E" d="M686 227C696 232 701 239 701 250C701 261 696 268 686 273L112 545C109 546 105 547 101 547C85 547 77 539 77 522C77 513 82 506 91 502L625 250L91-2C82-6 77-13 77-22C77-39 85-47 101-47C105-47 109-46 112-45Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="1" transform="translate(1055.8,0)"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47C195 42 170 39 130 39L95 39L95 0C120 2 174 3 257 3C340 3 394 2 419 0L419 39L384 39C343 39 318 42 310 47C302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container>。</p><p>除此之外，当函数的指数为 <mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.188ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.891ex" height="1.695ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 1278 749"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="-1"><g data-mml-node="mo" data-latex="-"><path data-c="2212" d="M698 270L80 270C64 270 56 263 56 250C56 237 64 230 80 230L698 230C714 230 722 237 722 250C722 262 710 270 698 270Z"></path></g><g data-mml-node="mn" data-latex="1" transform="translate(778,0)"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47C195 42 170 39 130 39L95 39L95 0C120 2 174 3 257 3C340 3 394 2 419 0L419 39L384 39C343 39 318 42 310 47C302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 时，它就变成了原函数的反函数，比如 <mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.011ex" height="1.959ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -855 2214.7 866"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\sin^{-1}"><g data-mml-node="msup" data-latex="\sin^{-1}"><g data-mml-node="mi" data-latex="\sin"><path data-c="73" d="M360 130C360 206 308 254 205 274C158 283 128 294 112 305C96 316 88 332 88 351C88 398 123 421 193 421C261 421 298 383 303 306C304 298 309 294 319 294C330 294 336 303 336 321L336 420C336 439 331 448 321 448C310 448 295 430 285 422C260 439 229 448 193 448C104 448 33 408 33 323C33 289 47 260 76 237C111 208 144 202 207 191C272 178 305 149 305 104C305 47 270 18 199 18C130 18 86 64 67 155C64 168 59 175 50 175C39 175 33 165 33 146L33 17C33-2 38-11 48-11C51-11 56-8 64-1C82 15 74 12 92 30C121 3 157-11 199-11C294-11 360 38 360 130Z"></path><path data-c="69" d="M194 601C194 631 169 657 139 657C109 657 83 631 83 601C83 571 108 544 138 544C169 544 194 570 194 601M143 3L247 0L247 39C214 39 194 41 188 45C182 49 180 60 180 78L180 445L37 433L37 395C70 395 91 392 98 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data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47C195 42 170 39 130 39L95 39L95 0C120 2 174 3 257 3C340 3 394 2 419 0L419 39L384 39C343 39 318 42 310 47C302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> 即为 <mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.801ex" height="1.511ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -657 2564 668"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="\arcsin"><g data-mml-node="mi" data-latex="\arcsin"><path data-c="61" d="M483 91L483 150L451 150L451 91C451 52 440 32 419 32C399 32 387 57 387 77L387 274C387 309 383 335 376 353C352 412 283 448 213 448C136 448 60 405 60 333C60 300 77 283 110 283C143 283 159 299 159 332C159 361 144 378 113 381C135 406 168 419 211 419C273 419 311 362 311 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data-mml-node="mfrac" data-latex="\frac{1}{\sin}"><g data-mml-node="mn" transform="translate(477.4,394) scale(0.707)" data-latex="1"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47C195 42 170 39 130 39L95 39L95 0C120 2 174 3 257 3C340 3 394 2 419 0L419 39L384 39C343 39 318 42 310 47C302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(220,-345) scale(0.707)" data-latex="\sin"><path data-c="73" d="M360 130C360 206 308 254 205 274C158 283 128 294 112 305C96 316 88 332 88 351C88 398 123 421 193 421C261 421 298 383 303 306C304 298 309 294 319 294C330 294 336 303 336 321L336 420C336 439 331 448 321 448C310 448 295 430 285 422C260 439 229 448 193 448C104 448 33 408 33 323C33 289 47 260 76 237C111 208 144 202 207 191C272 178 305 149 305 104C305 47 270 18 199 18C130 18 86 64 67 155C64 168 59 175 50 175C39 175 33 165 33 146L33 17C33-2 38-11 48-11C51-11 56-8 64-1C82 15 74 12 92 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<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.05ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="1.557ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 500 688"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="0"><g data-mml-node="mn" data-latex="0"><path data-c="30" d="M249-22C390-22 460 92 460 320C460 473 428 575 365 625C330 652 291 666 250 666C109 666 39 551 39 320C39 136 88-22 249-22M361 524C368 489 371 425 371 332C371 240 367 172 360 128C347 48 310 8 249 8C226 8 203 17 182 34C155 57 139 104 132 176C129 201 128 253 128 332C128 419 131 480 136 513C145 568 163 603 191 618C213 630 232 636 249 636C314 636 350 583 361 524Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 或 <mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: 0;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="1.507ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 500 666"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="1"><g data-mml-node="mn" data-latex="1"><path data-c="31" d="M269 666C228 624 168 603 89 603L89 564C141 564 184 572 217 588L217 82C217 64 213 52 204 47C195 42 170 39 130 39L95 39L95 0C120 2 174 3 257 3C340 3 394 2 419 0L419 39L384 39C343 39 318 42 310 47C302 52 297 64 297 82L297 636C297 660 295 666 269 666Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> 时的意义更是没有明确定义。</p><h2 id="结语——严谨的表达与严谨的思维同样重要"><a href="#结语——严谨的表达与严谨的思维同样重要" class="headerlink" title="结语——严谨的表达与严谨的思维同样重要"></a>结语——严谨的表达与严谨的思维同样重要</h2><p>一门如此追求思维美学的学科，怎么能构建出如此杂乱的表达？这时候，我就必须提起计算机语言了，计算机语言的表达与数学表达比起来，严谨得不止一点。主流的语言往往有统一的标准，表达和命名都有严格的规定，然而数学没有。年轻的计算机语言没有厚重的历史包袱，使得它可以构建全新的语法，从而摆脱以往语言存在但受制于历史原因而无法解决的问题。可是，数学语言在历史发展中已然成型，其问题不能被轻易解决，原因在于有太多信息已然在它的基础之上建立好了，所以数学语言无法承担颠覆性的变革。更何况数学语言没有版本体系，自然谈不上什么更新迭代了。</p><p>数学语言漏洞百出的根本原因，其实还是需要归咎于数学研究者的不负责任。大家都认为自己的表达可以随意一些，只要方便就好，而不考虑推广开来可能造成的隐患。虽然大多部分表达确实没有大范围推广，可仅仅是那些推广了的部分，在历史积累的过程中，就完全足以使整个数学表达体系陷入极度混乱的深渊。</p><p>更为糟糕的是，在不同地区、不同文化背景之下，即使是对于相同的对象，数学语言也能有各种不同的表达方式，美国和苏联的两种方式就是最好的例子。不同文化中诞生不同的表达并非不可理解的事，但没有一个人想起为此订立统一的标准，更有甚者在多种表达方式中反复横跳。这正是规范意识缺乏的反映。物理化学都有国际标准，符号和单位国际通用，但是数学貌似没有，而且看起来也不像是会有的样子。</p><p>数学语言的严重问题亟待解决，可却无从下手，那不如让我们每个人都严以律己。从今起，规范自己的语言，完善自己的表达，至少可以让你自己所产出的内容摆脱这般混乱的困境。</p><style>@import url('https://fonts.googleapis.com/css2?family=Noto+Serif+SC:wght@300;400;700&display=swap');@import url('https://fonts.googleapis.com/css2?family=Noto+Serif:ital,wght@0,300;1,300&display=swap');.meta, .content, .toc {  font-family: 'Noto 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    <published>2024-06-02T00:00:00.000Z</published>
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      <![CDATA[<p>数学爱好者总是喜欢称赞数学严谨的特点，但实际上，数学的严谨往往取决于使用它的人，而非数学本身。如果你没有学习过数学的某些概念，那么你初次遇见相关的表达时往往很难看懂。这样的现象可以证明数学没有统一的定义和语法，这些全部都是由创造某些概念的数学家按照自己的喜好定义出来的。接下]]>
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    <title>“严谨”的混乱——数学</title>
    <updated>2024-09-07T03:30:00.000Z</updated>
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    <author>
      <name>Mr. Will</name>
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      <![CDATA[<p style="text-align: center"><small><strong>时光机</strong> · 2022 年度总结 · <a href="/2022/12/19/It-s-just-the-Beginning/">这不过是个开场</a></small></p><hr><h2 id="博客"><a href="#博客" class="headerlink" title="博客"></a>博客</h2><p>我的天，今年居然写了一篇文章（就是本文）！看来只能明年再加把劲咯！</p><h2 id="开源"><a href="#开源" class="headerlink" title="开源"></a>开源</h2><p><img src="/img/000034.png" alt="GitHub Green Wall"></p><p><small>Generated with <a href="https://github.com/Codennnn/Green-Wall">Codennnn&#x2F;Green-Wall</a></small></p><p>今年搞开源项目也在摸鱼，只有一月份是在做 <a href="https://github.com/campfire-org">Campfire</a> 所以看起来很是勤奋。</p><h3 id="有点意思的项目饼——Campfire"><a href="#有点意思的项目饼——Campfire" class="headerlink" title="有点意思的项目饼——Campfire"></a>有点意思的<del>项目</del>饼——Campfire</h3><p><a href="https://github.com/campfire-org">Campfire</a> 这个设想其实是来源于之前和朋友们用腾讯会议开的 Night Radio，就是一个人共享屏幕放歌，然后大家可以点歌聊天写作业之类的。但是现在腾讯会议超过两个人就有时间限制了，还要什么加时卡。所以想弄一个干净一点的，可以提前点歌的，真正的 radio。我们觉得这很符合围着篝火听歌聊天的氛围，所以叫它“围炉夜话——Campfire”。</p><p>所以说我就就着我熟悉的技术栈 <a href="https://nextjs.org/">Next.js</a> + <a href="https://www.prisma.io/">Prisma</a> 开搞，最后也是做出了一点东西。这个半成品已经勉强能用了，可是棘手的问题在于，没有什么好用的音乐 API，让用户上传音乐的话开销又太大，而且也可能遇到版权问题，所以后来就选择放弃了。</p><h3 id="Next-Mastodon-Gallery"><a href="#Next-Mastodon-Gallery" class="headerlink" title="Next Mastodon Gallery"></a>Next Mastodon Gallery</h3><p>一个画廊！由于不想再注册一个 <a href="https://pixelfed.org/">Pixelfed</a>，所以就试了试用 <a href="https://docs.joinmastodon.org/">Mastodon API</a> 检索打了 <code>#photography</code> 标签的有图的推文，把图片像相册一样排在页面上。每个图片点击都可以查看大图，这里用了 <a href="https://vaul.emilkowal.ski/">Vaul</a> 来做抽屉，实在是太优雅了。<a href="https://gallery.mrwillcom.com/">点我去看一看</a>。</p><p>放一张大截图：</p><img src="/img/000035.png" alt="Gallery 的截图"><h2 id="摄影"><a href="#摄影" class="headerlink" title="摄影"></a>摄影</h2><h3 id="焦段扩展！"><a href="#焦段扩展！" class="headerlink" title="焦段扩展！"></a>焦段扩展！</h3><p>今年夏天用 EF 转 EF-M 的转接环接了个 75-300mm 的长焦镜头，从此可以拍月亮了！</p><div class="block-large">  <img src="/img/000036.jpg" alt="300mm 拍月亮"></div><h3 id="拍了多少？"><a href="#拍了多少？" class="headerlink" title="拍了多少？"></a>拍了多少？</h3><p>用相机拍的加起来大概 385 GB，一共 8366 张照片&#x2F;视频。这是第一次一年拍了这么大空间的照片，大概是因为我从 JPEG 转到 RAW，一张图的大小增大了几倍，然后拍完又舍不得删（也有一部分懒的成分）。</p><h2 id="游戏-—-Genshin-Impact"><a href="#游戏-—-Genshin-Impact" class="headerlink" title="游戏 — Genshin Impact"></a>游戏 <span class="italic-heading" style="display: inline; font-size: smaller">— Genshin Impact</span></h2><p>年初入坑原神了，为了直接绕过防沉迷，于是选择了欧洲服。当时没多想，后来才发现没有朋友在同服务器。所以，如果看到这里的你刚好有欧洲服的原神，可以来加好友玩！我的 UID：<code>756236451</code>。</p><h2 id="FFFForesight-Future-Flags"><a href="#FFFForesight-Future-Flags" class="headerlink" title="FFFForesight &#x2F; Future &#x2F; Flags"></a><span class="italic-heading">FFF</span><span class="italic-heading-desc">Foresight &#x2F; Future &#x2F; Flags</span></h2><ul><li>把照片印出来，装裱上墙。</li><li>出远门！</li></ul><hr><p>别看这篇文章被显示为发在 2023 年 12 月 26 日，实际上这是开始编辑的日期，真正发出来已经是 2024 年 6 月了，这已经完全称不上是年度总结了啊。本来这篇里面我还想着预告一个 2023 十大照片的，现在也去掉了，恐怕得等明年了。这篇文章绝得称得上是最咕咕的一集了。太水了太水了，快划走去看别的文章吧。</p><style>@import url('https://fonts.googleapis.com/css2?family=Noto+Serif+SC:wght@300;400;700&display=swap');@import url('https://fonts.googleapis.com/css2?family=Noto+Serif:ital,wght@0,300;1,300&display=swap');@import url('https://unpkg.com/lxgw-wenkai-webfont/lxgwwenkai-regular.css');.meta, .content, .toc {  font-family: 'Noto Serif SC', serif;}.meta {  text-align: center;  font-weight: 300;}.meta .title {  font-weight: 700;}.post > .content {  font-size: 17px;}.content p img, .content .block-large img, .content figure img {  border-radius: var(--radius-small);}.italic-heading {  letter-spacing: 1px;  font-family: 'Noto Serif', 'Noto Serif SC', serif;  font-style: italic;  font-weight: 300;  display: block;  text-align: center;}.italic-heading-desc {  font-family: 'Noto Serif', serif;  font-style: italic;  font-weight: 300;  font-size: 14px;  display: block;  text-align: center;}.text-lxgw {  font-family: 'LXGW WenKai', sans-serif;}.text-wide-spacing {  letter-spacing: 6px;}.text-normal {  font-style: normal;}</style>]]>
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    <published>2023-12-26T00:00:00.000Z</published>
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      <![CDATA[<p style="text-align: center"><small><strong>时光机</strong> · 2022 年度总结 · <a href="/2022/12/19/It-s-just-the-Beginning/">这不过是个开场</a></small></]]>
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    <title>2023 年度总结</title>
    <updated>2026-08-11T07:44:39.381Z</updated>
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      <![CDATA[<p>2022，是从一模开始的。但是关于一模，并没有什么好说的。还是从寒假讲起吧。</p><h2 id="寒假"><a href="#寒假" class="headerlink" title="寒假"></a>寒假</h2><p><img src="/img/000027.png" alt="打游戏的游戏截图"></p><p>开了一个 Minecraft 服务器，加了少量 mod，和朋友玩的。</p><p><img src="/img/000028.png" alt="另一张游戏截图"></p><p>因为不会搞 Minecraft 服务器的备份，就用了 Git 做版本管理。</p><hr><p>寒假里入手了一台 Mac Mini (M1, 2020)，从此应用可以跨平台编译了。</p><p><img src="/img/000029.png" alt="neofetch"></p><p>macOS 的开发体验确实比 Windows 好不少。Command Line Tools for Xcode 直接就配置好了常用的 compilers、Git 之类的东西。</p><h2 id="四月是你的谎言"><a href="#四月是你的谎言" class="headerlink" title="四月是你的谎言"></a>四月是你的谎言</h2><p>三月，上海疫情从华亭宾馆开始。三月中旬，我们走进了第二次网课。相比起 2020 年的第一次网课，这次网课来得真不是时候。距离原定的中考时间，现在只剩下两个月。但仅仅是学校网课并没有什么用，新增数字仍旧越来越大。接着，上海进入了四月 1 号开始的封控时期。这回封控，原本是说持续两周的，可是到了快要解封的日子，却又延长了。谁也想不到，这次封控持续了两个月。另外，体育、英语听说和理化实验中考都取消，中考延期。</p><blockquote><p>鉴于本市新冠肺炎疫情防控最新情况，为切实控制学生线下大规模聚集性活动，保障师生健康安全，经研究决定，***2022 年初中学业水平考试体育与健身科目统一测试暂停，相应成绩按满分 15 分计入学生初中学业水平考试总分。***日常考核分值和计分办法不变，由学校按往年要求完成。</p><p>——<a href="https://mp.weixin.qq.com/s/pyZke8VTgK_BN3W3957LjQ">上海教育</a></p></blockquote><blockquote><p>我市秋季高考统考延期至 7 月 7 日-9 日举行，高中学业水平等级性考试延期至 6 月 18 日-19 日举行；<em><strong>中考延期至 7 月 11 日-12 日举行，取消初中理化实验考试、外语听说测试</strong></em>，相关考试成绩以满分计入学生中考总成绩。</p><p>——<a href="https://mp.weixin.qq.com/s/D02YZKJpeoqMWhjdLthDNg">上海教育</a></p></blockquote><p>六月 1 号，上海解封。我们是六月中旬回到线下上课的。学校里实行“网格化管理”，各个班被分配到不同的楼层，每天学校组织做核酸。这是初三的最后一个月。</p><h2 id="中考"><a href="#中考" class="headerlink" title="中考"></a>中考</h2><p>中考延期，另外今年还有政策变更。名额分配使得公办学校取得更多优势，且今年中考人数增长了近一万。原本预感中考难度或许会变低，然而真正开考才感觉实际上并没有。总之，这次中考的竞争相比以往更激烈。另外，成绩是在八月公布的，真的是让人提心吊胆半个暑假。</p><h2 id="毕业"><a href="#毕业" class="headerlink" title="毕业"></a>毕业</h2><p>初中以最后一场考试结束，这一届，没有毕业照。毕业典礼在八月 1 号举行，但是是线上的，没有那种应有的仪式感，更没有这段时期的见证——毕业证书。（毕业证书和中考成绩单最后是在九月发的）</p><h2 id="小小的旅行"><a href="#小小的旅行" class="headerlink" title="小小的旅行~"></a>小小的旅行~</h2><p>去了苏州昆山，还有长兴岛~</p><p><img src="/img/000030.jpeg" alt="苏州真爱码头"><br><img src="/img/000031.jpeg" alt="长兴岛某处的风力发电机"><br><img src="/img/000032.jpeg" alt="长兴岛某处的公路"></p><h2 id="新的开始"><a href="#新的开始" class="headerlink" title="新的开始"></a>新的开始</h2><p><img src="/img/000033.jpg" alt="学校里拍的一张图"></p><p>升入高中！最直接的感觉就是校园比初中大了很多，听说也有更多有意思的活动，最开始的时候是非常期待。不过过完国庆，我们又一次转入线上。运动会被迫推迟到三个星期后恢复线下才举行，开幕式也取消了，最后是以分年级的方式举行的，有点遗憾。</p><h2 id="放开"><a href="#放开" class="headerlink" title="放开"></a>放开</h2><p>十二月，疫情防控政策总算有所改变，从严格的防控走向了放开。各个省市陆续不再查核酸，在网上你甚至可以看到机场火车站一类的地方在撕下关于疫情的海报。这样看好像不是骗人的。</p><h2 id="淘汰赛"><a href="#淘汰赛" class="headerlink" title="淘汰赛"></a>淘汰赛</h2><p>一旦放开，就一定会有大批感染。这也的确发生了。放开大概一周之后，我们一个年级，总共才 12 个班，转为线上的有 3 个，之后的一天增加到 5 个。据说高二也淘汰了一半。</p><p>随后的一天早晨，看起来一切安好。然而正准备出门，却来了网课的紧急通知。（有些同学甚至已经到了校门口）第二天，高二也网课了。</p><blockquote><p><em><strong>中小学校自 12 月 19 日起，除初三、高三年级外，全部调整为线上教学。</strong></em></p><p>——<a href="https://mp.weixin.qq.com/s/RWoP4an5XRSjDrmM108vcQ">上海教育</a></p></blockquote><h2 id="尾声"><a href="#尾声" class="headerlink" title="尾声"></a>尾声</h2><p>2022 是不同寻常的一年。对我来说，面对的是离开熟悉的校园，迎接挑战，迈向新的旅程。而这一步，却如此坎坷。三年，疫情抹去了多少原本可能的精彩回忆，给予多少人一次次的困难。希望这次网课是最后一次网课，希望这次放开是真正的放开。疫情的坎总会过去，它将化作我们难以忘记的回忆。</p><p>愿来年，能自由地去往想去的地方，找回我们本该拥有的浪漫。</p><p>这不过是个开场……</p><hr><p><small class="text-gray">“这不过是个开场”是今年上海中考的语文考试作文题。</small></p><style>@import url('https://unpkg.com/lxgw-wenkai-webfont/lxgwwenkai-regular.css');.post {  font-family: 'LXGW WenKai', sans-serif;}.content .text-gray {  color: var(--color-text-tertiary);}</style>]]>
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    <published>2022-12-19T00:00:00.000Z</published>
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      <![CDATA[<p>2022，是从一模开始的。但是关于一模，并没有什么好说的。还是从寒假讲起吧。</p>
<h2 id="寒假"><a href="#寒假" class="headerlink" title="寒假"></a>寒假</h2><p><img src="/img/000027.pn]]>
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    <title>这不过是个开场</title>
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      <![CDATA[<p>Introducing tags &amp; categories features, <mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.31ex" height="1.572ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -684 3231 695"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math" data-latex="LaTeX"><g data-mml-node="mi" data-latex="L"><path data-c="1D43F" d="M520 667C520 678 513 683 500 683L354 680L223 683C208 684 200 676 200 659C200 652 203 647 209 646C218 645 226 644 231 644C262 643 279 641 284 640C289 639 292 636 292 631C292 629 291 623 288 613L156 82C150 60 140 47 125 42C119 40 101 39 70 39C49 39 39 31 39 15C39 5 49 0 70 0L527 0C552 0 554 0 561 19L639 233C642 240 643 245 643 248C643 258 638 263 627 263C617 263 612 254 607 240C588 191 570 154 555 131C518 75 455 39 363 39L270 39C259 39 252 39 249 40C242 40 239 42 239 45C239 47 241 54 244 67L377 601C383 624 396 637 415 642C421 643 442 644 478 644C506 644 520 644 520 667Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="a" transform="translate(681,0)"><path data-c="1D44E" d="M498 144C498 153 493 158 482 158C474 158 468 151 465 137C445 58 421 18 394 18C377 18 368 32 368 60C368 73 372 97 381 132L438 357C443 376 445 387 445 392C445 412 434 422 412 422C391 422 377 410 370 387C349 424 319 442 281 442C216 442 159 409 109 343C63 281 40 217 40 150C40 63 91-11 175-11C218-11 260 12 300 58C311 20 345-11 392-11C461-11 482 70 498 144M341 374C350 353 355 339 355 330C355 326 354 321 353 314L304 122C301 111 294 99 285 87C248 41 212 18 177 18C138 18 118 48 118 107C118 131 124 167 136 215C157 300 187 357 224 388C244 405 263 413 282 413C309 413 329 400 341 374Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="T" transform="translate(1210,0)"><path data-c="1D447" d="M344 631C344 628 343 621 340 611L208 83C204 68 200 59 197 55C188 44 154 39 94 39C63 39 49 42 49 16C49 5 56 0 69 0C120 0 192 4 235 3L317 2C331 2 386 0 403 0C420 0 428 8 428 24C428 34 416 39 391 39C339 39 309 41 300 46C297 48 295 52 295 58L430 603C433 617 436 626 439 629C443 635 467 638 511 638C566 638 604 634 623 625C642 616 652 595 652 561C652 543 649 517 644 483C642 475 641 469 641 464C641 453 646 447 657 447C666 447 672 456 675 473L702 645C703 650 704 656 704 662C704 672 694 677 673 677L125 677C99 677 97 674 89 655L30 481C27 472 25 466 24 462C24 452 29 447 40 447C48 447 55 455 60 470C85 543 110 588 133 607C159 628 209 638 282 638L321 638C332 638 344 639 344 631Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="e" transform="translate(1914,0)"><path data-c="1D452" d="M124 129C124 153 129 186 139 227L188 227C253 227 303 235 339 250C372 264 394 284 405 309C412 326 415 342 415 355C415 410 363 442 307 442C268 442 229 432 190 412C113 372 46 281 46 171C46 69 105-11 204-11C257-11 304 2 345 27C379 48 404 69 420 90C427 99 430 106 430 109C430 120 425 126 414 126C409 126 404 122 398 114C365 70 324 42 277 30C246 22 223 18 206 18C149 18 124 72 124 129M375 355C375 289 311 256 182 256L147 256C166 322 194 366 232 387C262 404 287 413 307 413C343 413 375 391 375 355Z"></path></g><g data-mml-node="mi" data-latex="X" transform="translate(2380,0)"><path data-c="1D44B" d="M834 683C817 683 758 680 741 680C721 680 651 683 631 683C616 683 608 675 608 659C608 650 613 645 624 644C648 641 660 633 660 618C660 609 654 598 642 585L486 417C457 485 429 552 400 620C401 622 402 624 405 626C414 636 431 642 455 644C471 646 479 654 479 667C479 678 473 683 460 683C436 683 359 680 335 680C314 680 245 683 224 683C209 683 202 675 202 659C202 649 211 644 229 644C274 644 288 644 300 615L416 342L208 119C205 116 201 112 196 109C155 66 108 42 53 39C36 38 27 29 27 14C30 5 31 0 44 0C61 0 120 3 137 3C158 3 227 0 248 0C263 0 270 8 270 24C270 33 265 38 254 39C230 41 218 50 218 65C218 75 227 89 244 107C306 173 369 239 430 306C464 225 499 145 532 63C531 61 530 59 527 56C518 47 502 42 478 39C463 37 455 29 455 16C455 5 461 0 474 0L599 3C620 3 690 0 708 0C723 0 731 8 731 23C731 33 724 38 709 39C678 39 658 40 651 44C644 48 636 60 628 80L501 383C569 455 620 509 653 546C677 571 693 588 702 595C739 626 780 642 825 644C846 645 851 650 851 669C848 678 847 683 834 683Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container> and 🌈 rainbow banner. 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388 672C456 672 512 640 557 575Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(811,-150) scale(0.707)" data-latex="3"><path data-c="33" d="M303 353C369 378 431 441 431 526C431 569 410 604 369 631C333 654 292 666 246 666C201 666 162 654 127 631C88 605 68 571 68 528C68 495 90 472 122 472C154 472 176 495 176 527C176 560 157 578 119 580C145 615 186 633 242 633C302 633 332 598 332 527C332 485 324 450 309 421C282 373 245 364 183 364C171 362 165 357 165 348C165 333 172 333 192 333L235 333C310 333 348 280 348 173C348 88 317 14 241 14C176 14 128 36 99 80C134 79 160 105 160 139C160 173 135 198 101 198C62 198 42 178 42 137C42 88 64 49 108 18C147-9 193-22 244-22C301-22 350-3 393 34C436 71 457 117 457 173C457 267 383 332 303 353Z"></path></g></g><g data-mml-node="mo" data-latex="+" transform="translate(11388,0)"><path data-c="2B" d="M698 274L413 274L413 559C413 575 405 583 389 583C373 583 365 575 365 559L365 274L80 274C64 274 56 266 56 250C56 234 64 226 80 226L365 226L365-59C365-75 373-83 389-83C405-83 413-75 413-59L413 226L698 226C714 226 722 234 722 250C722 263 711 274 698 274Z"></path></g><g data-mml-node="msub" data-latex="H_2" transform="translate(12388.2,0)"><g data-mml-node="mi" data-latex="H"><path data-c="48" d="M566 3C640 3 690 2 716 0L716 39L688 39C653 39 632 41 625 46C618 51 614 63 614 81L614 602C614 620 618 631 625 636C632 641 653 644 688 644L716 644L716 683C690 681 640 680 567 680C492 680 442 681 417 683L417 644L444 644C479 644 500 641 507 636C514 631 518 620 518 602L518 375L231 375L231 602C231 620 235 631 242 636C249 641 270 644 305 644L332 644L332 683C307 681 257 680 183 680C109 680 59 681 33 683L33 644L61 644C96 644 117 641 124 636C131 631 135 620 135 602L135 81C135 63 131 51 124 46C117 41 96 39 61 39L33 39L33 0C59 2 109 3 182 3C257 3 307 2 332 0L332 39L305 39C270 39 249 41 242 46C235 51 231 63 231 81L231 336L518 336L518 81C518 63 514 51 507 46C500 41 479 39 444 39L417 39L417 0C442 2 492 3 566 3Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(783,-150) scale(0.707)" data-latex="2"><path data-c="32" d="M237 666C186 666 143 648 106 612C69 576 50 534 50 483C50 449 75 424 106 424C136 424 161 450 161 480C161 513 137 536 105 536C102 536 100 536 98 535C117 584 161 627 224 627C306 627 352 556 352 470C352 403 318 331 250 255L62 43C49 28 50 29 50 0L421 0L450 180L417 180C409 129 402 100 396 91C391 86 361 84 306 84L139 84L236 179C304 243 390 312 419 365C439 400 449 435 449 470C449 588 357 666 237 666Z"></path></g></g><g data-mml-node="mi" data-latex="O" transform="translate(13574.8,0)"><path data-c="4F" d="M388-22C484-22 564 15 628 88C690 158 721 242 721 339C721 436 690 521 629 592C564 667 484 705 388 705C292 705 212 667 148 592C87 521 56 436 56 339C56 242 87 159 148 88C213 15 293-22 388-22M557 575C593 522 611 448 611 353C611 230 585 140 533 84C488 36 440 12 389 12C337 12 288 36 243 85C192 141 166 230 166 353C166 472 193 558 247 609C293 651 340 672 388 672C456 672 512 640 557 575Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></p><p>By default, this feature is disabled and optional. You can choose the renderer you like. <a href="https://github.com/MrWillCom/hexo-theme-cupertino/blob/master/docs/features/latex.md">Check out docs</a>.</p><h2 id="🌈-Rainbow-Banner"><a href="#🌈-Rainbow-Banner" class="headerlink" title="🌈 Rainbow Banner"></a>🌈 Rainbow Banner</h2><p>June is coming, if you would like to show your pride and support LGBT, or just simply like the rainbow, you will certainly like this feature. It provides a gorgeous rainbow banner right on your navigation. It’s also customizable, you can change its colors to any colors you want. <a href="https://github.com/MrWillCom/hexo-theme-cupertino/blob/master/docs/features/rainbow-banner.md">Check out docs</a>.</p><hr><p>Get started now by <a href="https://github.com/MrWillCom/hexo-theme-cupertino/blob/master/README.md">installing/updating</a> Theme Cupertino, and <a href="https://github.com/MrWillCom/hexo-theme-cupertino">⭐star it</a> if you like it!</p>]]>
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    <id>https://blog.mrwillcom.com/2022/05/31/Hello-Tags-Categories-LaTeX-and-Rainbow/</id>
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    <published>2022-05-31T00:00:00.000Z</published>
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      <![CDATA[<p>Introducing tags &amp; categories features, <mjx-container class="MathJax" jax="SVG" overflow="overflow"><svg style="vertical-align: -0.0]]>
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    <title>Hello, Tags, Categories, LaTeX and Rainbow!</title>
    <updated>2026-08-11T07:44:39.381Z</updated>
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    <author>
      <name>Mr. Will</name>
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    <category term="security" scheme="https://blog.mrwillcom.com/tags/security/"/>
    <content>
      <![CDATA[<p>Recently, I’ve written a CLI for RSA encryption and decryption - RSA CLI.</p><p>RSA CLI is based on Node.js, works perfectly with all the desktop platforms.</p><p>If you have Node.js environment on your device, with the help of npm, you can install it by running a single line of command:</p><figure class="highlight sh"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">$ npm install -g rsa-cli</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>Yarn is also supported:</p><figure class="highlight sh"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">$ yarn global add rsa-cli</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>Without Node.js environment, it’s still easy to install. Just download the executable for your device in <a href="https://github.com/MrWillCom/rsa-cli/releases">GitHub Releases</a> and execute it.</p><hr><p>Now start encrypting:</p><h2 id="0x00"><a href="#0x00" class="headerlink" title="0x00"></a>0x00</h2><figure class="highlight sh"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">$ rsa generate [keyName]</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>Run the command above to generate a new key pair. Modulus length is 2048 by default, and if you want to change it, use <code>-l</code> flag:</p><figure class="highlight sh"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">$ rsa generate [keyName] -l 4096</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>Remember <code>[keyName]</code>, it’s needed for next steps.</p><h2 id="0x01"><a href="#0x01" class="headerlink" title="0x01"></a>0x01</h2><p>Get your public key by running:</p><figure class="highlight sh"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">$ rsa get [keyName]</span><br><span class="line">Public key of key pair <span class="string">&#x27;[keyName]&#x27;</span>:</span><br><span class="line">-----BEGIN RSA PUBLIC KEY-----</span><br><span class="line">MIIBCgKCAQEAv1n2RwSVDyfd7wsWo5g9Q3bG2uTU4eLxFFgX4coUSRYQKjVXH2zp</span><br><span class="line">8QUmaRghF3qTumlWzCY6WJUvYQl6alu1/VrLOUCeQCat74nLxlIWI44GCB7vhGrC</span><br><span class="line">ktqTpaVmFxa4aOAXT7WLGA15wcaW7hS4mdgbwehx4Bqisk+SjZqJ017ASBFMz02m</span><br><span class="line">RNpKjQoJgRQWdDsr/VDNEKbAYl2ghVlTT9yidiCBJlLISkhTvLVmMzd2ULPzoa9F</span><br><span class="line">8rXxpWJ/4j+rKJKpOaGJIKYCLTgZOXHLHZE7vPxBNK8L/nAV4XDI0S+QSwqVFR0A</span><br><span class="line">uhXiHquN1Ae7wiyljqbei3vZylIYAaIkywIDAQAB</span><br><span class="line">-----END RSA PUBLIC KEY-----</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>Copy <code>-----BEGIN RSA ...... END RSA PUBLIC KEY-----</code> and save it to a file, then send this file to your friend.</p><p>Your friend should also install RSA CLI, he&#x2F;she need to download it and import it:</p><figure class="highlight sh"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">$ rsa import [yourFriendsKeyName] --public [path-to-the-file]</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>The next step is to encrypt a message:</p><figure class="highlight sh"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">$ rsa encrypt [yourFriendsKeyName] <span class="string">&#x27;[message]&#x27;</span></span><br></pre></td></tr></table></figure><p>Finally, tell your friend to copy the output and send it to you.</p><h2 id="0x02"><a href="#0x02" class="headerlink" title="0x02"></a>0x02</h2><p>After receiving the encrypted message from your friend, you can now decrypt it:</p><figure class="highlight sh"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">$ rsa decrypt [keyName] <span class="string">&#x27;[the-encrypted-message-from-your-friend]&#x27;</span></span><br></pre></td></tr></table></figure><p>Done! you got the decrypted message from the output.</p><hr><p>I think privacy should be in your control. You should not trust anyone who can’t proof your privacy is encrypted and private. Trust yourself. RSA CLI is an easy way to encrypt and decrypt on your own, which means you can really know your privacy is encrypted. Without private key, no one can decrypt your messages.</p><p>But why trusting RSA CLI? Because it’s <a href="https://github.com/MrWillCom/rsa-cli">fully open source</a>.</p>]]>
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    <published>2021-08-14T00:00:00.000Z</published>
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      <![CDATA[<p>Recently, I’ve written a CLI for RSA encryption and decryption - RSA CLI.</p>
<p>RSA CLI is based on Node.js, works perfectly with all th]]>
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    <title>Encrypt it on Your Own!</title>
    <updated>2026-08-11T07:44:39.381Z</updated>
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    <author>
      <name>Mr. Will</name>
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    <category term="misc" scheme="https://blog.mrwillcom.com/tags/misc/"/>
    <content>
      <![CDATA[<p>I haven’t updated my blog for a long time. Recently, I found some unkind comments here, but they are not allowed. So, I removed them then. I think I have to make some changes.</p><p>From now on, I will check comments more frequently and will deal with the unkind comments I found. If you found any unkind comments, feel free to tell me to remove them.</p><p>Plus, comments area is not for testing, it’s for sharing and exchanging amazing ideas about the post with others. So, test comments will be removed, too.</p>]]>
    </content>
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    <published>2021-07-16T00:00:00.000Z</published>
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      <![CDATA[<p>I haven’t updated my blog for a long time. Recently, I found some unkind comments here, but they are not allowed. So, I removed them then]]>
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    <title>About Comments</title>
    <updated>2026-08-11T07:44:39.381Z</updated>
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    <author>
      <name>Mr. Will</name>
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      <![CDATA[<p>I found that GitHub has published its own dark mode and that’s pretty cool.</p><p><img src="/img/000017.png" alt="A screenshot of the appearance settings page"></p><p><small>At <a href="https://github.com/settings/appearance">GitHub Settings - Appearance</a></small></p><p><img src="/img/000018.png" alt="A screenshot of the dark theme"></p><div class="container" style="display: flex"><p style="flex: 1"><small style="color: #888; font-weight: bold">Official Dark Mode</small><br />Really wonderful, supports more colors and components.</p><p style="flex: 1; text-align: right"><small style="color: #888; font-weight: bold">GitHub Dark Mode Extension</small><br />More colorful but doesn't support some special components.</p></div><p>I’m currently enjoying using the official dark mode.</p><hr><p>This means, GitHub Dark Mode Extension is useless now…</p><p>So, GitHub Dark Mode Extension will add more features to improve your experience like blur effects, smooth transitions and more.</p>]]>
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    <id>https://blog.mrwillcom.com/2020/12/11/GitHub-s-Own-Dark-Mode/</id>
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    <published>2020-12-11T00:00:00.000Z</published>
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      <![CDATA[<p>I found that GitHub has published its own dark mode and that’s pretty cool.</p>
<p><img src="/img/000017.png" alt="A screenshot of the ap]]>
    </summary>
    <title>GitHub's Own Dark Mode!</title>
    <updated>2026-08-11T07:44:39.381Z</updated>
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    <author>
      <name>Mr. Will</name>
    </author>
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    <content>
      <![CDATA[<p><img src="/img/000015.png" alt="A screen shot of theme Cupertino"></p><p>Apple updated their Newsroom’s UI 2 weeks ago. I’ve updated the UI of theme Cupertino recently.</p><p>This new UI is still based on Apple Newsroom’s design. It’s post list cards have rounded corners and hover animation just like this:</p><div class="container">    <div class="card">        <div class="cover-img">            <img src="/img/000015.png" alt="A screen shot of theme Cupertino">        </div>        <div class="content">            <p class="title">Theme Cupertino is Updated</p>        </div>    </div></div><p>This new design is also available in archives page. You can even create one, right in your post in Markdown:</p><figure class="highlight html"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="tag">&lt;<span class="name">div</span> <span class="attr">class</span>=<span class="string">&quot;container&quot;</span>&gt;</span></span><br><span class="line">    <span class="tag">&lt;<span class="name">div</span> <span class="attr">class</span>=<span class="string">&quot;card&quot;</span>&gt;</span></span><br><span class="line">        <span class="tag">&lt;<span class="name">div</span> <span class="attr">class</span>=<span class="string">&quot;cover-img&quot;</span>&gt;</span></span><br><span class="line">            <span class="tag">&lt;<span class="name">img</span> <span class="attr">src</span>=<span class="string">&quot;/img/000015.png&quot;</span> <span class="attr">alt</span>=<span class="string">&quot;A screen shot of theme Cupertino&quot;</span>&gt;</span></span><br><span class="line">        <span class="tag">&lt;/<span class="name">div</span>&gt;</span></span><br><span class="line">        <span class="tag">&lt;<span class="name">div</span> <span class="attr">class</span>=<span class="string">&quot;content&quot;</span>&gt;</span></span><br><span class="line">            <span class="tag">&lt;<span class="name">p</span> <span class="attr">class</span>=<span class="string">&quot;title&quot;</span>&gt;</span>Theme Cupertino is Updated<span class="tag">&lt;/<span class="name">p</span>&gt;</span></span><br><span class="line">        <span class="tag">&lt;/<span class="name">div</span>&gt;</span></span><br><span class="line">    <span class="tag">&lt;/<span class="name">div</span>&gt;</span></span><br><span class="line"><span class="tag">&lt;/<span class="name">div</span>&gt;</span></span><br></pre></td></tr></table></figure><p>Unlike Apple Newsroom, theme Cupertino also supports dark mode which is not supported by Apple.</p>]]>
    </content>
    <id>https://blog.mrwillcom.com/2020/09/13/Theme-Cupertino-is-Updated/</id>
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    <published>2020-09-13T00:00:00.000Z</published>
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      <![CDATA[<p><img src="/img/000015.png" alt="A screen shot of theme Cupertino"></p>
<p>Apple updated their Newsroom’s UI 2 weeks ago. I’ve updated the]]>
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    <title>Theme Cupertino is Updated</title>
    <updated>2026-08-11T07:44:39.381Z</updated>
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    <author>
      <name>Mr. Will</name>
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    <content>
      <![CDATA[<p>If you contact me, I can’t respond just on weekdays.</p><span id="more"></span><hr><p><strong>My holiday is end.</strong></p><hr><p>But you can still contact me by email or respond to me on GitHub. I can’t respond on weekdays, but will check all notifications at weekends.</p>]]>
    </content>
    <id>https://blog.mrwillcom.com/2020/09/01/From-Now-on-I-Won-t-Respond-on-Weekdays/</id>
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    <published>2020-09-01T00:00:00.000Z</published>
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      <![CDATA[<p>If you contact me, I can’t respond just on weekdays.</p>]]>
    </summary>
    <title>From Now on, I Can't Respond on Weekdays</title>
    <updated>2026-08-11T07:44:39.381Z</updated>
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    <author>
      <name>Mr. Will</name>
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      <![CDATA[<p>Apple updated Apple Newsroom’s UI.</p><span id="more"></span><img src="/img/000013.png" alt="A screenshot of Apple Newsroom's new UI"><p><small>A screenshot of Apple Newsroom’s new UI, <a href="https://www.apple.com/newsroom/">visit Apple Newsroom</a>.</small></p><p>I’m interested in why Apple Newsroom doesn’t support dark appearance still.</p><p>Theme Cupertino’s UI is based on Cupertino Design guidelines. And the cards are designed just like Apple Newsroom’s Card. But today, it updated.</p><p>I think that I should update it to make Theme Cupertino more Cupertino Design. It’s in progress now.</p>]]>
    </content>
    <id>https://blog.mrwillcom.com/2020/08/31/Apple-Newsroom-s-UI-is-Updated/</id>
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    <published>2020-08-31T00:00:00.000Z</published>
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      <![CDATA[<p>Apple updated Apple Newsroom’s UI.</p>]]>
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    <title>Apple Newsroom's UI is Updated</title>
    <updated>2026-08-11T07:44:39.381Z</updated>
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